Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2 с решениями

На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены во внешнюю сторону прямоугольные треугольники. Пусть <i>A, B, C</i> и <i>D</i> – вершины их прямых углов, а <i>O</i>₁, <i>O</i>₂, <i>O</i>₃ и <i>O</i>₄ – центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что

  а) площадь четырёхугольника <i>ABCD</i> не превосходит 2;

  б) площадь четырёхугольника <i>O</i>₁<i>O</i>₂<i>O</i>₃<i>O</i>₄ не превосходит 1.

Пусть   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + 12<i>x</i> + 30.  Решите уравнение   <i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))))) = 0.

На стороне $CD$ прямоугольника $ABCD$ взята точка $K$. Из вершины $B$ опустили перпендикуляр $BH$ на отрезок $AK$. Оказалось, что отрезки $AK$ и $BH$ делят прямоугольник на три части, в каждую из которых можно вписать круг (см. рисунок). Докажите, что если круги, касающиеся стороны $CD$, равны, то и третий круг им равен.<img src="/storage/problem-media/67500/problem_67500_img_2.jpg">

В равностороннем треугольнике $ABC$ проведены отрезки $ED$ и $GF$, так что образовались два равносторонних треугольника $ADE$ и $GFC$ со сторонами 1 и 100 (точки $E$ и $G$ лежат на стороне $AC$). Отрезки $EF$ и $DG$ пересекаются в точке $O$, причём угол $EOG$ равен $120^\circ$. Чему равна сторона треугольника $ABC$?<img src="/storage/problem-media/67482/problem_67482_img_2.png">

Из прямого угла прямоугольного треугольника опущена высота, и в образовавшиеся треугольники вписаны два квадрата (как на рисунке).<img src="/storage/problem-media/67473/problem_67473_img_2.png">Чему может быть равна сумма площадей этих квадратов, если длина биссектрисы прямого угла треугольника равна $1$?

На столе лежит колода из 36 карт, верхняя из которых червонный туз. За одно «перемешивание» фокусник снимает верхнюю половину колоды и кладёт рядом с нижней, а затем делает так, чтобы карты двух стопок чередовались: сначала нижняя карта левой или правой стопки, потом первая снизу другой стопки, потом вторая снизу карта первой стопки, вторая снизу карта другой стопки, и так далее (см. рисунок).<img src="/storage/problem-media/67472/problem_67472_img_2.png">Какое наименьшее число перемешиваний нужно сделать фокуснику, чтобы червонный туз оказался нижней картой колоды? При каждом перемешивании то, из какой половины карта окажется снизу, фокусник выбирает сам.

Между двумя восьмёрками в числе 88 вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом.

На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 100 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из остальных. Какое наименьшее количество ответов «да» могло быть получено?

В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ провели высоту $CH$. Окружность, проходящая через точки $C$ и $H$, повторно пересекает отрезки $AC$, $CB$ и $BH$ в точках $Q$, $P$ и $R$ соответственно. Отрезки $HP$ и $CR$ пересекаются в точке $T$. Что больше: площадь треугольника $CPT$ или сумма площадей треугольников $CQH$ и $HTR$?<img src="/storage/problem-media/67451/problem_67451_img_2.png">

Можно ли расставить девять различных целых чисел в клетки таблицы $3 \times 3$ так, чтобы произведение чисел в каждой строке равнялось $2025$ и произведение чисел в каждом столбце тоже равнялось $2025$?

На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 12 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из остальных. Какое наименьшее количество ответов «да» могло быть получено?

Произвольный прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники так, как показано на рисунке ниже. В каждый треугольник вписан квадрат со стороной, лежащей на гипотенузе. Что больше: площадь самого большого квадрата или сумма площадей трёх остальных квадратов?<img width="200" src="/storage/problem-media/67424/problem_67424_img_2.png">

В последовательности действительных чисел $a_1$, $a_2$, ... каждое число, начиная с третьего, равно полусумме двух предыдущих. Докажите, что все параболы вида $y = x^2 + a_nx + a_{n+1}$ (где $n$ = 1, 2, 3, ...) имеют общую точку.

Вершины $M$, $N$, $K$ прямоугольника $KLMN$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $CA$ соответственно правильного треугольника $ABC$ так, что $AM=2$, $KC=1$, а вершина $L$ лежит вне треугольника. Найдите угол $KMN$.

Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60 от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?

У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 4, \ldots, \ln 20$, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?

В прямоугольной системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график функции  $y = f(x)$.  Затем ось ординат и все отметки на оси абсцисс стёрли. Предложите способ, как с помощью карандаша, циркуля и линейки восстановить ось ординат, если

  а)  $f(x) = 3^x$;

  б)  $f(x)$ = log<i>_ax</i>,  где  $a$ > 1  – неизвестное число.

Мудрецам $A, B, C, D$ сообщили, что числа 1, 2, ..., 12 написаны по одному на 12 карточках и что эти карточки будут розданы им по три, причём каждый увидит лишь свои карточки. После раздачи мудрецы по очереди сказали следующее.

  $A$: "На одной из моих карточек – число 8".

  $B$: "Все числа на моих карточках простые".

  $C$: "А все числа на моих – составные, причём имеют общий простой делитель".

  $D$: "Тогда я знаю, какие карточки у каждого из вас".

Какие карточки у $A$, если все сказали правду?

В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12- угольника?

В декартовой системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график показательной функции $y=3^x$. Затем ось $y$ и все отметки на оси $x$ стёрли. Остались лишь график функции и ось $x$ без масштаба и отметки 0. Каким образом с помощью циркуля и линейки можно восстановить ось $y$?

16 карточек с целыми числами от 1 до 16 разложены лицевой стороной вниз в виде таблицы $4\times4$ так, что карточки, на которых записаны соседние числа, лежат рядом (соприкасаются по стороне). Какое наименьшее число карточек нужно одновременно перевернуть, чтобы наверняка определить местоположение всех чисел (как бы ни были разложены карточки)?

На клетчатой плоскости отметили 40 клеток. Всегда ли найдётся клетчатый прямоугольник, содержащий ровно 20 отмеченных клеток?

Существует ли число, кратное 2020, в котором всех цифр 0, 1, 2, ..., 9 поровну?

Карта Квадрландии представляет собой квадрат 6×6 клеток. Каждая клетка – либо королевство, либо спорная территория. Королевств всего 27, а спорных территорий 9. На спорную территорию претендуют все королевства по соседству и только они (то есть клетки, соседние со спорной по стороне или вершине). Может ли быть, что на каждые две спорные территории претендует разное число королевств?

У Васи есть неограниченный запас брусков 1×1×3 и уголков из трёх кубиков 1×1×1. Вася целиком заполнил ими коробку <i>m×n×k</i>, где $m, n, k$ – целые числа, большие 1. Докажите, что можно было обойтись лишь уголками.