Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 1-4 с решениями
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, точка <i>H</i> – основание высоты, опущенной из вершины <i>B</i>. Описанные окружности треугольников <i>AHN</i> и <i>CHM</i> пересекаются в точке <i>P</i> (<i>P ≠ H</i>). Докажите, что прямая <i>PH</i> проходит через середину отрезка <i>MN</i>.
Через центр <i>O</i> вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой <i>AO</i> и пересекающая прямую <i>BC</i> в точке <i>M</i>.
Из точки <i>O</i> на прямую <i>AM</i> опущен перпендикуляр <i>OD</i>. Докажите, что точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> лежат на одной окружности.
Точки<i> A' </i>,<i> B' </i>и<i> C' </i>"– середины сторон<i> BC </i>,<i> CA </i>и<i> AB </i>треугольника<i> ABC </i>соответственно, а<i> BH </i>"– его высота. Докажите, что если описанные около треугольников<i> AHC' </i>и<i> CHA' </i>окружности проходят через точку<i> M </i>, отличную от<i> H </i>, то<i> <img src="/storage/problem-media/109488/problem_109488_img_2.gif"> ABM=<img src="/storage/problem-media/109488/problem_109488_img_2.gif"> CBB' </i>.
На сторонах прямоугольного треугольника <i>ABC</i> построены во внешнюю сторону квадраты с центрами <i>D, E, F</i>.
Докажите, что отношение <i>S<sub>DEF</sub></i> : <i>S<sub>ABC</sub></i> а) больше 1; б) не меньше 2.