Олимпиадные задачи по математике для 1-10 класса - сложность 2 с решениями

Алёша написал на доске пять целых чисел – коэффициенты и корни квадратного трёхчлена. Боря стёр одно из них. Остались числа 2, 3, 4, –5. Восстановите стёртое число.

Петя отметил на плоскости несколько (больше двух) точек, все расстояния между которыми различны. Пару отмеченных точек  (<i>A, B</i>)  назовём <i>необычной</i>, если <i>A</i> – самая дальняя от <i>B</i> отмеченная точка, а <i>B</i> – ближайшая к <i>A</i> отмеченная точка (не считая самой точки <i>A</i>). Какое наибольшее возможное количество необычных пар могло получиться у Пети?

Натуральные числа  <i>a < b < c</i>  таковы, что  <i>b + a</i>  делится на  <i>b – a</i>,  а  <i>c + b</i>  делится на  <i>c – b</i>.  Число <i>a</i> записывается 2011, а число <i>b</i> – 2012 цифрами. Сколько цифр в числе <i>c</i>?

Докажите, что для любого натурального числа <i>N</i> найдутся такие две пары натуральных чисел, что суммы в парах одинаковы, а произведения отличаются ровно в <i>N</i> раз.

По кругу написаны все целые числа от 1 по 2010 в таком порядке, что при движении по часовой стрелке числа поочередно то возрастают, то убывают.

Докажите, что разность каких-то двух чисел, стоящих рядом, чётна.

Доска 2010×2011 покрыта доминошками 2×1; некоторые из них лежат горизонтально, некоторые – вертикально.

Докажите, что граница горизонтальных доминошек с вертикальными имеет чётную длину.

В турнире каждый участник встретился с каждым из остальных один раз. Каждую встречу судил один арбитр, и все арбитры судили разное количество встреч. Игрок Иванов утверждает, что все его встречи судили разные арбитры. То же самое утверждают о себе игроки Петров и Сидоров. Может ли быть, что никто из них не ошибается?

Hа плоскости даны две окружности <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂ с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ и радиусами 2<i>R</i> и <i>R</i> соответственно (<i>O</i>₁<i>O</i>₂ <i>></i> 3<i>R</i>). Hайдите геометрическое место центров тяжести треугольников, у которых одна вершина лежит на <i>C</i>₁, а две другие — на <i>C</i>₂.

Bыпуклый <i>n</i>-угольник <i>P</i>, где  <i>n</i> > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.

Каковы возможные значения <i>n</i>, если <i>n</i>-угольник вписанный?

Петя умеет на любом отрезке отмечать точки, которые делят этот отрезок пополам или в отношении  <i>n</i> : (<i>n</i> + 1),  где <i>n</i> – любое натуральное число. Петя утверждает, что этого достаточно, чтобы на любом отрезке отметить точку, которая делит его в любом заданном рациональном отношении. Прав ли он?

Найдите геометрическое место центров всех вневписанных окружностей прямоугольных треугольников, имеющих данную гипотенузу.

Через каждую вершину неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> проведён отрезок, разбивающий его на два треугольника с равными периметрами.

Верно ли, что все эти отрезки имеют разные длины?

Даны окружность и не лежащая на ней точка. Из всех треугольников, одна вершина которых совпадает с данной точкой, а две другие лежат на окружности, выбран треугольник наибольшей площади. Докажите, что он равнобедренный.

Выпуклый многоугольник описан около окружности. Точки касания его сторон с окружностью образуют многоугольник с таким же набором углов (порядок углов может быть другим). Верно ли, что многоугольник правильный?

Треугольник разрезан на несколько (не менее двух) треугольников. Один из них равнобедренный (не равносторонний), а остальные – равносторонние. Найдите углы исходного треугольника.

Петя и Вася играют на бирже. Некоторые дни удачные, и в такие дни капитал Пети увеличивается на 1000, а капитал Васи – на 10%. А остальные дни неудачные – и тогда капитал Пети уменьшается на 2000, а капитал Васи уменьшается на 20%. Через некоторое время капитал Пети оказался таким же, как был в начале. А что произошло с капиталом Васи: уменьшился он, увеличился или остался прежним?

Решите систему уравнений  (<i>n</i> > 2)      <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_2.gif">   <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_3.gif">     <i>x</i>₁ – <i>x</i>₂ = 1.

Существуют ли такие три числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он имеет два положительных корня, а если в другом – два отрицательных?

За первый год население некоторой деревни возросло на <i>n</i> человек, а за второй – на 300 человек. При этом за первый год население увеличилось на 300%, а за второй – на <i>n</i> %. Сколько жителей стало в деревне?

Найдите все возрастающие конечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел и у которых количество членов больше чем разность прогрессии.

Существуют ли такие натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i>, что  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1  является натуральной степенью <i>y</i>, а  <i>y</i>² + <i>y</i> + 1  – натуральной степенью <i>x</i>?

Путешественник посетил деревню, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей деревни составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.

Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается или понижается на 17% (курс не округляется).

Может ли курс акций дважды принять одно и то же значение?

Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается или понижается на <i>n</i>%, где <i>n</i> – фиксированное натуральное число, меньшее 100 (курс не округляется). Существует ли <i>n</i>, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?

В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных две партии: одну белыми фигурами, другую – чёрными. По окончании турнира оказалось, что все участники набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков). Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.