Олимпиадные задачи по математике для 5-8 класса - сложность 1-3 с решениями
Даны положительные числа <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>. Докажите неравенство <img align="middle" src="/storage/problem-media/116543/problem_116543_img_2.gif">
На доске написано натуральное число. Если на доске написано число <i>x</i>, то можно дописать на нее число 2<i>x</i> + 1 или <sup><i>x</i></sup>/<sub><i>x</i>+2</sub>. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.
Известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110215/problem_110215_img_2.gif"> и <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + ... + <i>x</i><sub>6</sub> = 0. Докажите, что <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub>...<i>x</i><sub>6</sub> ≤ ½.
В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?
Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2001 ноль?
Даны целые числа <i>a, b</i> и <i>c, c ≠ b</i>. Известно, что квадратные трёхчлены <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> и (<i>c – b</i>)<i>x</i>² + (<i>c – a</i>)<i>x</i> + (<i>a + b</i>) имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что <i>a + b</i> + 2<i>c</i> делится на 3.
Для неотрицательных чисел <i>x</i> и <i>y</i>, не превосходящих 1, докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110027/problem_110027_img_2.gif">
Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.
Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.
Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> справедливо неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109704/problem_109704_img_2.gif">
На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа <i>n</i>, увеличенные на 1. Найдите все такие числа <i>n</i>, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа <i>m</i>.
Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения <i>a</i>³, <i>b</i>³ и <i>c</i>³?
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> равна 3. Докажите неравенство <sup>1</sup>/<sub><i>a</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>c</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>d</i>³</sub> ≤ <sup>1</sup>/<sub><i>a</i>³<i>b</i><sup>3</sup><i>c</i>³<i>d</i>³</sub>.
Существуют ли такие целые числа<i>a</i>и<i>b</i>, что а) уравнение <i>x</i>² +<i>ax + b</i>= 0 не имеет корней, а уравнение [<i>x</i>²] +<i>ax + b</i>= 0 имеет? б) уравнение <i>x</i>² + 2<i>ax + b</i>= 0 не имеет корней, а уравнение [<i>x</i>²] + 2<i>ax + b</i>= 0 имеет?
Какое из чисел больше: (100!)! или 99!<sup>100!</sup>·100!<sup>99!</sup>?