Олимпиадные задачи по математике для 9-11 класса - сложность 4-5 с решениями
Последовательность {<i>a<sub>n</sub></i>} строится следующим образом: <i>a</i><sub>1</sub> = <i>p</i> – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> – период десятичной дроби <sup>1</sup>/<sub><i>a<sub>n</sub></i></sub>, умноженный на 2. Найдите число <i>a</i><sub>2003</sub>.
Даны многочлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) с целыми неотрицательными коэффициентами, <i>m</i> – наибольший коэффициент многочлена <i>f</i>. Известно, что для некоторых натуральных чисел <i>a < b</i> имеют место равенства <i>f</i>(<i>a</i>) = <i>g</i>(<i>a</i>) и <i>f</i>(<i>b</i>) = <i>g</i>(<i>b</i>). Докажите, что если <i>b > m</i>, то многочлены <i>f</i> и <i>g</i> совпадают.
Выпуклый многоугольник<i> M </i>переходит в себя при повороте на угол90<i><sup>o</sup> </i>. Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным<i> <img src="/storage/problem-media/109654/problem_109654_img_2.gif"> </i>, один из которых содержит<i> M </i>, а другой содержится в<i> M </i>.