Олимпиадные задачи по математике для 10-11 класса - сложность 4 с решениями
Докажите, что для любого <i>k</i> > 1 найдётся такая степень двойки, что среди <i>k</i> последних её цифр не менее половины составляют девятки.
(Например, 2<sup>12</sup> = ...96, 2<sup>53</sup> = ...992.)
Для каждого непрямоугольного треугольника <i>T</i> обозначим через <i>T</i><sub>1</sub> треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i>; через <i>T</i><sub>2</sub> – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i><sub>1</sub>; аналогично определим треугольники <i>T</i><sub>3</sub>, <i>T</i><sub>4</sub> и так далее. Каким должен быть треугольник <i>T</i>, чтобы
а) треугольник <i>T</i><sub>1</sub> был остроугольным?
б) в последовательности <i>T</i><sub>1</sub>, <i>T</i><sub>2</sub>, <i>T</i>...
Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.