Олимпиадные задачи по математике для 1-10 класса
Дед барона К.Ф.И. фон Мюнхгаузена построил квадратный замок, разделил его на 9 квадратных залов и в центральном разместил арсенал. Отец барона разделил каждый из восьми оставшихся залов на 9 равных квадратных холлов и во всех центральных холлах устроил зимние сады. Сам барон разделил каждый из 64 свободных холлов на 9 равных квадратных комнат и в каждой из центральных комнат устроил бассейн, а остальные сделал жилыми. Барон хвастается, что ему удалось обойти все жилые комнаты, побывав в каждой по одному разу, и вернуться в исходную (в каждой стене между двумя соседними жилыми комнатами проделана дверь). Могут ли слова барона быть правдой?
При разложении чисел <i>A</i> и <i>B</i> в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа <i>A + B</i>?
Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.
По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.
В пространстве расположены 2<i>n</i> точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены <i>n</i>² + 1 отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют
а) хотя бы один треугольник;
б) не менее <i>n</i> треугольников.
Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числам<i>x</i>и<i>y</i>он вычисляет<i>x</i>+<i>y</i>,<i>x</i>−<i>y</i>и${\frac{1}{x}}$(при<i>x</i>≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).
Можно ли отметить <i>k</i> вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если: а) <i>k</i> = 6; б) <i>k</i> ≥ 7?
Последовательность (<i>a</i><sub><i>n</i></sub>) такова, что <i>a<sub>n</sub> = n</i>² при 1 ≤ <i>n</i> ≤ 5 и при всех натуральных <i>n</i> выполнено равенство <i>a</i><sub><i>n</i>+5</sub> + <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a</i><sub><i>n</i>+4</sub> + <i>a<sub>n</sub></i>. Найдите <i>a</i><sub>2015</sub>.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается <i>n</i> единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из <i>n</i> единиц и двоек.
Найдите все такие <i>a</i> и <i>b</i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64729/problem_64729_img_2.gif"> и при всех <i>x</i> выполнено неравенство |<i>a</i> sin <i>x</i> + <i>b</i> sin 2<i>x</i>| ≤ 1.
Существует ли такой квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> с целыми коэффициентами и <i>a</i>, не кратным 2014, что все числа <i>f</i>(1), <i>f</i>(2), ..., <i>f</i>(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?