Олимпиадные задачи по математике для 9 класса - сложность 2-3 с решениями
Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.Комментарий.<i>Словом</i>мы называем любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную,<i>подсловом</i>называется любой фрагмент слова. Например, АБВШГАБ - слово, а АБВ, Ш, ШГАБ - его подслова.
В углу шахматной доски размером <i>n×n</i> полей стоит ладья. При каких <i>n</i>, чередуя горизонтальные и вертикальные ходы, она может за <i>n</i>² ходов побывать на всех полях доски и вернуться на место? (Учитываются только поля, на которых ладья останавливалась, а не те, над которыми она проносилась во время хода.)
В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.
Придумайте раскраску граней кубика, чтобы в трёх различных положениях он выглядел, как показано на рисунке. (Укажите, как раскрасить невидимые грани, или нарисуйте развёртку.)<img src="/storage/problem-media/103816/problem_103816_img_2.gif">
Из натурального числа вычли сумму его цифр, из полученного числа снова вычли сумму его (полученного числа) цифр и т.д. После одиннадцати таких вычитаний получился нуль. С какого числа начинали?
Существуют ли такие иррациональные числа <i>a</i> и <i>b</i>, что <i>a </i> > 1, <i>b</i> > 1, и [<i>a<sup>m</sup></i>] отлично от [<i>b<sup>n</sup></i>] при любых натуральных числах <i>m</i> и <i>n</i>?
Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что <i>ad – bc</i> > 1. Докажите, что хотя бы одно из чисел <i>a, b, c, d</i> не делится на <i>ad – bc</i>.
Дан куб с ребром длины <i>n</i> см. В нашем распоряжении имеется длинный кусок изоляционной ленты шириной 1 см. Требуется обклеить куб лентой, при этом лента может свободно переходить через ребро на другую грань, по грани она должна идти по прямой параллельно ребру и не свисать с грани вбок. На сколько кусков необходимо разрезать ленту, чтобы обклеить куб?