Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 3-5 с решениями

  а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть  <i>f_ij</i>  означает число различных путей, идущих из порта <i>i</i> в порт <i>j</i>. Докажите неравенство   <i>f</i>₁₄<i>f</i>₂₃ ≥ <i>f</i>₁₃<i>f</i>₂₄.

  б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом поря...

В королевстве 16 городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в каждый, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более пяти дорог.

  а) Докажите, что это возможно.

  б) Докажите, что если в формулировке заменить число 5 на число 4, то желание короля станет неосуществимым.

На стене висят двое правильно идущих совершенно одинаковых часов. Одни показывают московское время, другие – местное. Минимальное расстояние между концами их часовых стрелок равно <i>m</i>, а максимальное – <i>M</i>. Найдите расстояние между центрами этих часов.

В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава ячейки реализованы?  

Квадратная комната разгорожена перегородками на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты – целое число.

Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4.

Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений),<nobr>а) проигрывает;</nobr><nobr>б) выигрывает.</nobr>Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?

На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.

Двое бросают монету: один бросил ее 10 раз, другой – 11 раз.

Чему равна вероятность того, что у второго монета упала орлом большее число раз, чем у первого?