Олимпиадные задачи по математике для 9 класса - сложность 3-5 с решениями
Даны положительные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>. Известно, что <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i> ≤ ½. Докажите, что (1 + <i>a</i><sub>1</sub>)(1 + <i>a</i><sub>2</sub>)...(1 + <i>a<sub>n</sub></i>) < 2.
а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры. б) Даны натуральные числа <i>k</i> и <i>n</i>, причём 1 < <i>k < n</i>. Для какого наименьшего <i>m</i> верно следующее утверждение: при любой расстановке <i>m</i> ладей на доске размером <i>n×n</i> клеток можно выбрать <i>k</i> ладей из этих <i>m</i> так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?