Олимпиадные задачи по математике для 1-8 класса - сложность 2-3 с решениями

а) Внутри окружности находится некоторая точка <i>A</i>. Через <i>A</i> провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.

Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых. б) Внутри окружности находится правильный 2<i>n</i>-угольник  (<i>n</i> > 2),  его центр <i>A</i> не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из <i>A</i> в вершины 2<i>n</i>-угольника, высекают 2<i>n</i> точек на окружности. 2<i>n</i>-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2<i>n</i> новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2<i>n</i> точек....

В школе решили провести турнир по настольному теннису между математическими и гуманитарными классами. Команда гуманитарных классов состоит из <i>n</i> человек, команда математических – из <i>m</i>, причём  <i>n</i> ≠ <i>m</i>.  Так как стол для игры всего один, было решено играть следующим образом. Сначала какие-то два ученика из разных команд начинают играть между собой, а все остальные участники выстраиваются в одну общую очередь. После каждой игры человек, стоящий в очереди первым, заменяет за столом члена своей команды, который становится в конец очереди. Докажите, что рано или поздно каждый математик сыграет с каждым гуманитарием.

Перед Шариком лежит бесконечное число котлет, на каждой сидит по мухе. На каждом ходу Шарик последовательно делает две операции:

1. съедает какую-то котлету вместе со всеми сидящими на ней мухами;

2. пересаживает одну муху с одной котлеты на другую (на котлете может быть сколько угодно мух).

Шарик хочет съесть не более миллиона мух. Докажите, что он не может действовать так, чтобы каждая котлета была съедена на каком-то ходу.

Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, где  $a < N$ . Число $a$ он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число и полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных на доске чисел была больше 100$N$?

Дана возрастающая последовательность положительных чисел  $...< a_{-2} < a_{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$  бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых $k$ подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих $k$ членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, ... либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.

Покажите, что для любой последовательности $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$, ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие $n$ и $k$, что  $|a_0a_1...a_k  +   a_1a_2...a_{k+1}  +   ...   +  a_na_{n+1}...a_{n+k}| = 2017.$

а) Группа людей прошла опрос, состоящий из 20 вопросов, на каждый из которых возможно два ответа. После опроса оказалось, что для любых 10 вопросов и любой комбинации ответов на эти вопросы существует человек, давший именно эти ответы на эти вопросы. Обязательно ли найдутся два человека, у которых ответы ни на один вопрос не совпали?

б) Решите ту же задачу, если на каждый вопрос есть 12 вариантов ответа.

Окружность ω вписана в треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>AB < AC</i>.  Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A'</i>. Точка <i>X</i> выбирается на отрезке <i>A'A</i> так, что отрезок <i>A'X</i> не пересекает ω. Касательные, проведённые из <i>X</i> к ω, пересекают отрезок <i>BC</i> в точках <i>Y</i> и <i>Z</i>. Докажите, что сумма  <i>XY + XZ</i>  не зависит от выбора точки <i>X</i>.

Можно ли число ¹/₁₀ представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей?

Император пригласил на праздник 2015 волшебников, добрых и злых, при этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император – нет. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой говорит что угодно. На празднике император сначала выдаёт каждому волшебнику по бумажке с вопросом (требующим ответа "да" или "нет"), затем волшебники отвечают, и после всех ответов император одного изгоняет. Волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. После этого император вновь выдаёт каждому из оставшихся волшебников по бумажке с вопросом, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (это возможно после любого из ответов, и после остановки можно никого не изгонять). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебни...