Олимпиадные задачи по математике для 6-8 класса - сложность 1-4 с решениями

Дан правильный 17-угольник <i>A</i>₁... <i>A</i>₁₇. Докажите, что треугольники, образованные прямыми <i>A</i>₁<i>A</i>₄, <i>A</i>₂<i>A</i>₁₀, <i>A</i>₁₃<i>A</i>₁₄ и <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₄<i>A</i>₆, <i>A</i>₁₄<i>A</i>₁₅, равны.

Вписанная и вневписанная окружности треугольника <i>ABC</i> касаются стороны <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Известно, что  ∠<i>BAC</i> = 2∠<i>MAN</i>.

Докажите, что  <i>BC</i> = 2<i>MN</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 57<°,  ∠<i>B</i> = 61°,  ∠<i>C</i> = 62°.  Какой из двух отрезков длиннее: биссектриса угла <i>A</i> или медиана, проведённая из вершины <i>B</i>?

Для каких $k$ можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько (конечное число, большее нуля) клеток в чёрный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно $k$ чёрных клеток, либо вовсе не было чёрных клеток?

Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что в любом выпуклом $1001$-угольнике сумма длин любых $k$ диагоналей не меньше суммы длин остальных диагоналей.

В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение $a?b$ обозначает одно из следующих:  $a - b,  b - a$  или  $a + b$.  Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные $a, b$ и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!", "?" записать выражение, которое гарантированно равно  $20a - 18b$.

Правильный $n$-угольник со стороной 1 вращается вокруг другого такого же $n$-угольника, как показано на рисунке. Последовательные положения одной из его вершин в моменты, когда $n$-угольники имеют общую сторону, образуют замкнутую ломаную $\kappa$.<img src="/storage/problem-media/66681/problem_66681_img_2.png"> Докажите, что $\kappa$ ограничивает площадь, равную $6A - 2B$, где $A$, $B$ – площади правильных $n$-угольников с единичными стороной и радиусом описанной окружности соответственно.

Вершины треугольника $DEF$ лежат на разных сторонах треугольника $ABC$. Касательные, проведенные из центра вписанной в треугольник $DEF$ окружности к вневписанным окружностям треугольника $ABC$, равны. Докажите, что $4S_{DEF} \ge S_{ABC}$.

В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение <i>a</i>?b обозначает одно из следующих: <i>a</i> – <i>b</i>, <i>b</i> – <i>a</i> или <i>a</i> + <i>b</i>. Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные <i>a</i>, <i>b</i> и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!" и "?" записать выражение, которое гарантированно равно 20<i>a</i> –...

Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму <i>s</i> и называет 97 троек  {<i>i, j, k</i>},  где <i>i, j, k</i> – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₀₀ с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников <i>A_iA_jA_k</i>. При каком наибольшем <i>s</i> Человеку выгодно согласиться?

Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?

Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.

Дан треугольник <i>ABC</i> и такая точка <i>F</i>, что  ∠<i>AFB</i> = ∠<i>BFC</i> = ∠<i>CFA</i>.  Прямая, проходящая через <i>F</i> и перпендикулярная <i>BC</i>, пересекает медиану, проведённую из вершины <i>A</i>, в точке <i>A</i>₁. Точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ определяются аналогично. Докажите, что <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника <i>ABC</i>.