Олимпиадные задачи по математике для 7-10 класса - сложность 3 с решениями
В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i>: ∠<i>A</i> = ∠<i>C</i> = 90°, <i>AB = AE</i>, <i>BC = CD</i>, <i>AC</i> = 1. Найдите площадь пятиугольника.
Дана окружность и хорда <i>AB</i>, отличная от диаметра. По большей дуге <i>AB</i> движется точка <i>C</i>. Окружность, проходящая через точки <i>A</i>, <i>C</i> и точку <i>H</i> пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, повторно пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>P</i>. Докажите, что прямая <i>PH</i> проходит через фиксированную точку, не зависящую от положения точки <i>C</i>.
На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> взяты точки <i>K</i> и <i>M</i> соответственно, а на диагонали <i>AC</i> – точка <i>L</i> так, что <i>ML = KL</i>. Пусть <i>P</i> – точка пересечения отрезков <i>MK</i> и <i>BD</i>. Найдите угол <i>KPL</i>.
Казино предлагает игру по таким правилам. Игрок ставит любое целое число долларов (но не больше, чем у него в этот момент есть) либо на орла, либо на решку. Затем подбрасывается монета. Если игрок угадал, как она упадёт, он получает назад свою ставку и столько же денег впридачу. Если не угадал — его ставку забирает казино. Если игроку не повезёт четыре раза подряд, казино присуждает ему в следующей игре утешительную победу вне зависимости от того, как упадёт монета. Джо пришёл в казино со 100 долларами. Он обязался сделать ровно пять ставок и ни разу не ставить больше 17 долларов. Какую наибольшую сумму денег он сможет гарантированно унести из казино после такой игры?
Фиксированы окружность, описанная около остроугольного треугольника <i>ABC</i>, и вершина <i>C</i>. Ортоцентр <i>H</i> движется по окружности с центром в точке <i>C</i>. Найдите ГМТ середин отрезков, соединяющих основания высот, проведенных из вершин <i>A</i> и <i>B</i>.
Какое наибольшее количество граней n-угольной пирамиды может быть перпендикулярно основанию?
Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно четырёхугольника <i>ABCD</i>. Известно, что <i>BC || AD</i> и <i>AN = CM</i>.
Верно ли, что <i>ABCD</i> – параллелограмм?
Из точки <i>A</i> к окружности ω проведена касательная <i>AD</i> и произвольная секущая, пересекающая окружность в точках <i>B</i> и <i>C</i> (<i>B</i> лежит между точками <i>A</i> и <i>C</i>). Докажите, что окружность, проходящая через точки <i>C</i> и <i>D</i> и касающаяся прямой <i>BD</i>, проходит через фиксированную точку (отличную от <i>D</i>).
<i>O</i> – точка пересечения диагоналей трапеции <i>ABCD</i>. Прямая, проходящая через <i>C</i> и точку, симметричную <i>B</i> относительно <i>O</i>, пересекает основание <i>AD</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что <i>S<sub>AOK</sub> = S<sub>AOB</sub> + S<sub>DOK</sub></i>.
В треугольнике <i>ABC</i>: ∠<i>C</i> = 60°, ∠<i>A</i> = 45°. Пусть <i>M</i> – середина <i>BC</i>, <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>.
Докажите, что прямая <i>MH</i> проходит через середину дуги <i>AB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.