Олимпиадные задачи по математике для 10-11 класса - сложность 2-3 с решениями
Пусть <i>K</i> – точка на стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, <i>KN</i> – биссектриса треугольника <i>AKC</i>. Прямые <i>BN</i> и <i>AK</i> пересекаются в точке <i>F</i>, а прямые <i>CF</i> и <i>AB</i> – в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>KD</i> – биссектриса треугольника <i>AKB</i>.
Восстановите равнобедренный треугольник <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>) по точкам <i>I, M, H</i> пересечения биссектрис, медиан и высот соответственно.
Пусть <i>O</i> – одна из точек пересечения окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>. Окружность ω с центром <i>O</i> пересекает ω<sub>1</sub> в точках <i>A</i> и <i>B</i>, а ω<sub>2</sub> – в точках <i>C</i> и <i>D</i>. Пусть <i>X</i> – точка пересечения прямых <i>AC</i> и <i>BD</i>. Докажите, что все такие точки <i>X</i> лежат на одной прямой.