Решение 1:   Будем считать отмеченные точки и вершины квадрата вершинами, а соединяющие их отрезки и стороны квадрата – рёбрами плоского графа. Для каждого куска, на которые этот граф разбивает плоскость, подсчитаем число ограничивающих его рёбер, и все полученные числа сложим. Поскольку каждое ребро разделяет два куска, то в итоге получим удвоенное число рёбер. Так как все куски, кроме внешнего – треугольники, а внешний кусок ограничен четырьмя рёбрами, то  3(F– 1) + 4 = 2E,  то есть  E= 3(F– 1) : 2 + 2.  Заметим, что число вершин нашего графа равно 24 и подставим количества вершин и рёбер вформулу Эйлера(задача130759):  24 – (½ (F– 1) + 2) +F= 2.   Отсюда  F= 43.  Таким образом, число треугольников, на которые разбился квадрат, равно 42.

Решение 2:   Пусть квадрат разбился на n треугольников. Подсчитаем двумя способами сумму углов этих треугольников. С одной стороны, она равна 180°n. С другой стороны, эти углы составляют 20 полных углов и четыре угла квадрата, то есть сумма их равна  20·360° + 4·90° = 42·180°.  Отсюда  n = 42.

42 треугольника.