Задача
ПустьO— центр описанной окружности треугольникаABC,I— центр вписанной окружности. Докажите, чтоOB$\bot$BI(или жеOсовпадает сI) тогда и только тогда, когдаb= (a+c)/2.
Решение
В треугольникеOIBугол при вершинеIпрямой тогда и только тогда, когдаOB2=OI2+BI2. Ясно, чтоOB=RиBI=r/sin${\frac{\beta}{2}}$. Кроме того, согласно задаче 5.11 а)OI2=R2- 2Rr. Поэтому приходим к равенствуr= 2Rsin2${\frac{\beta}{2}}$. Согласно задаче 12.36 а)r= 4Rsin($\alpha$/2)sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2). Поэтому полученное равенство можно переписать в виде2 sin($\alpha$/2)sin($\gamma$/2) = sin($\beta$/2). Это равенство эквивалентно равенству2 sin$\beta$= sin$\alpha$+ sin$\gamma$. Действительно, последнее равенство можно преобразовать следующим образом:
| 4 cos$\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$sin$\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ | = 2 sin$\displaystyle {\frac{\alpha +\gamma }{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\alpha -\gamma }{2}}$; | |
| 2 sin$\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ | = cos$\displaystyle {\frac{\alpha -\gamma }{2}}$; | |
| sin$\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ | = cos$\displaystyle {\frac{\alpha -\gamma }{2}}$ - cos$\displaystyle {\frac{\alpha +\gamma }{2}}$; | |
| sin$\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ | = 2 sin$\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$sin$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$. |
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь