Задача
Продолжения биссектрис углов треугольника ABCпересекают описанную окружность в точках A1,B1и C1; M — точка пересечения биссектрис. Докажите, что:
a) $\displaystyle {\frac{MA\cdot MC}{MB_1}}$ = 2r; б) $\displaystyle {\frac{MA_1\cdot MC_1}{MB}}$ = R.
Решение
а) Так как B1 — центр описанной окружности треугольника AMC(см. задачу 2.4, а)), то AM= 2MB1sin ACM. Ясно также, что MC=r/sin ACM. Поэтому MA . MC/MB1= 2r. б) Так как$\angle$MBC1=$\angle$BMC1= 180o-$\angle$BMC и $\angle$BC1M=$\angle$A, то
$\displaystyle {\frac{MC_1}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{BM}{BC}}$ . $\displaystyle {\frac{MC_1}{BM}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin BCM}{\sin BMC}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin MBC_1}{\sin BC_1M}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin BCM}{\sin A}}$.
Кроме того, MB= 2MA1sin BCM. Поэтому MC1 . MA1/MB=BC/2 sin A=R.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет