Задача
В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. Пусть A1 и B1 – середины сторон BC и AC, а B2 и C2 – точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB. Докажите, что отрезки A1B1 и B2C2 пересекаются в точке X, лежащей на биссектрисе угла B.
Решение
B1C –B2C = b/2 – ½ (a + b – c) = ½ (c – a) > 0 (см. задачу 155404). Из этого следует, что отрезки A1B1 и B2C2 пересекаются в некоторой точке X. Треугольник XB1B2 подобен равнобедренному треугольнику C2AB2, поэтому XB1 = B1B2 = ½ (c – a). Следовательно, A1X = c/2 – ½ (c – a) = a/2 = A1B. Таким образом, треугольник XA1B равнобедренный, а значит, ∠XBA1 = ∠A1XB = ∠ABX.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет