Задача
а) В треугольниках ABCи A'B'C'равны стороныACиA'C', углы при вершинахBиB'и биссектрисы угловBиB'. Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, треугольникABCравен треугольникуA'B'C'или треугольникуC'B'A'). б) Через точкуDбиссектрисыBB1углаABCпроведены прямыеAA1иCC1(точкиA1иC1лежат на сторонах треугольника). Докажите, что если AA1=CC1, то AB = BC.
Решение
а) Согласно задаче 156798 длина биссектрисы угла B треугольника ABC равна 
поэтому достаточно проверить, что система уравнений 
a² + c² – 2ac cos B = q имеет (с точностью до перестановки чисел a и c) единственное положительное решение. Пусть a + c = u. Тогда
ac = pu и q = u² – 2pu(1 + cos β). Произведение корней этого квадратного уравнения относительно u равно –q, поэтому оно имеет единственный положительный корень. Ясно, что система уравнений a + c = u, ac = pu имеет единственное решение. б) В треугольниках AA1B и CC1B равны стороны AA1 и CC1, углы при вершине B и биссектрисы углов при вершине B. Согласно а) эти треугольники равны, а значит, AB = BC или AB = BC1. Второе равенство выполняться не может.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь