Задача
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно параллельны. Докажите, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть диагонали ADи BEданного шестиугольника ABCDEFпересекаются в точке P; Kи L — середины сторон ABи ED. Так как ABDE — трапеция, отрезок KLпроходит через точку P(задача 19.2). По теореме синусов sin APK: sin AKP=AK:APи sin BPK: sin BKP=BK:BP. Так как sin AKP= sin BKPи AK=BK, то sin APK: sin BPK=BP:AP=BE:AD. Аналогичные соотношения можно записать и для отрезков, соединяющих середины двух других пар противоположных сторон. Перемножая эти соотношения и применяя результат задачи 5.78к треугольнику, образованному прямыми AD,BEи CF, получаем требуемое.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь