Задача
Через точки Aи D, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге ADвзяты точки Bи C. Прямые ACи BDпересекаются в точке P, ABи CD — в точке Q. Докажите, что прямая PQпроходит через точку S.
Решение
Согласно задачам 5.78и 5.70, б)
$\displaystyle {\frac{\sin ASP}{\sin PSD}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin DAP}{\sin PAS}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin SDP}{\sin PDA}}$ = 1 = $\displaystyle {\frac{\sin ASQ}{\sin QSD}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin DAQ}{\sin QAS}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin SDQ}{\sin QDA}}$.
Но $\angle$DAP=$\angle$SDQ,$\angle$SDP=$\angle$DAQ,$\angle$PAS=$\angle$QDAи $\angle$PDA=$\angle$QAS. Поэтому sin ASP: sin PSD= sin ASQ: sin QSD. Из этого следует, что точки S,Pи Qлежат на одной
прямой, так как функция ${\frac{\sin(\alpha -x)}{\sin x}}$монотонна по x:
$\displaystyle {\frac{d }{d x}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sin(\alpha -x)}{\sin x}}\right.$$\displaystyle {\frac{\sin(\alpha -x)}{\sin x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sin(\alpha -x)}{\sin x}}\right)$ = - $\displaystyle {\frac{\sin\alpha }{\sin^2x}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет