Задача
Внутри треугольникаABCвзята точкаX. ПрямаяAXпересекает описанную окружность в точкеA1. В сегмент, отсекаемый сторонойBC, вписана окружность, касающаяся дугиBCв точкеA1, а стороныBC — в точкеA2. ТочкиB2иC2определяются аналогично. Докажите, что прямыеAA2,BB2иCC2пересекаются в одной точке.
Решение
Согласно задаче3.42, а) отрезокA1A2является биссектрисой треугольникаA1BC. Поэтому
$\displaystyle {\frac{BA_2}{CA_2}}$=$\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$=$\displaystyle {\frac{\sin BAA_1}{\sin CAA_1}}$.
Из того, что прямыеAA1,BB1иCC1пересекаются в одной точке,
следует, что
$\displaystyle {\frac{\sin BAA_1}{\sin CAA_1}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin CBB_1}{\sin ABB_1}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin ACC_1}{\sin BCC_1}}$=1.
Поэтому
$\displaystyle {\frac{BA_2}{CA_2}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_2}{AB_2}}$ . $\displaystyle {\frac{AC_2}{BC_2}}$=1,
а значит, прямыеAA2,BB2иCC2пересекаются в одной точке.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет