Задача
На сторонахBC,CAи ABтреугольникаABCвзяты точки A1,B1и C1; прямыеB1C1,BB1и CC1пересекают прямуюAA1в точках M,Pи Qсоответственно. Докажите, что: а)A1M/MA= (A1P/PA) + (A1Q/QA); б) еслиP=Q, тоMC1:MB1= (BC1/AB) : (CB1/AC).
Решение
а) Поместим в точки B,Cи Aтакие массы $\beta$,$\gamma$и b+c, чтоCA1:BA1=$\beta$:$\gamma$,BC1:AC1=b:$\beta$и AB1:CB1=$\gamma$:c. Тогда M — центр масс этой системы, а значит,A1M/AM= (b+c)/($\beta$+$\gamma$). Точка Pявляется центром масс точек A,Bи Cс массами c,$\beta$и $\gamma$, поэтомуA1P/PA=c/($\beta$+$\gamma$). АналогичноA1Q/AQ=b/($\beta$+$\gamma$). б) Как и в задаче а), получаемMC1/MB1= (c+$\gamma$)/(b+$\beta$),BC1/AB=b/(b+$\beta$) и AC/CB1= (c+$\gamma$)/c. Кроме того,b=c, так как прямыеAA1,BB1и CC1пересекаются в одной точке (см. задачу 14.7).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь