Задача
Пустьa,bиc— комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число${\frac{1}{2}}$(a+b+c-$\bar{a}$bc) соответствует основанию высоты, опущенной из вершиныaна сторонуbc.
Решение
Мы воспользуемся двумя фактами: 1) ортоцентром треугольникаabcслужит точкаa+b+c(задача 13.13); 2) точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности (задача 5.9). Пустьz— точка, в которой продолжение высоты, опущенной из вершиныa, пересекает описанную окружность. Тогдаz$\bar{z}$= 1 и число${\frac{a-z}{b-c}}$чисто мнимое. Поэтому
$\displaystyle {\frac{a-z}{b-c}}$ = - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a}-\frac{1}{z}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{z}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a}-\frac{1}{z}}\right)$$\displaystyle \left/\vphantom{
\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{b}-\frac{1}{c}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{b}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{c}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{b}-\frac{1}{c}}\right)$ = - $\displaystyle {\frac{a-z}{b-c}}$ . $\displaystyle {\frac{bc}{az}}$.
Таким образом,z= -bc/a= -$\bar{a}$bc.
Искомая точкаxявляется серединой отрезка, соединяющего точкиzиa+b+c, поэтомуx=${\frac{1}{2}}$(a+b+c-$\bar{a}$bc).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет