Задача
Даны точки A,B,C,D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и точки A1,B1,C1,D1, удовлетворяющие тому же условию. а) Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее точки A,B,C,Dсоответственно в точки A1,B1,C1,D1. б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно, т. е. проективное преобразование плоскости определяется образами четырех точек в общем положении (ср. с задачей 30.4). в) Докажите утверждение задачи а), если точки A,B,Cлежат на одной прямой l, а точки A1,B1,C1 — на одной прямой l1. г) Единственно ли преобразование задачи в)?
Решение
а) Достаточно показать, что точки A,B,C,Dможно перевести проективным преобразованием в вершины квадрата. Пусть Eи F — точки (возможно, бесконечно удаленные) пересечения прямойABс прямойCDи прямойBCс прямойADсоответственно. Если прямаяEFконечна, то существует центральное проектирование плоскостиABCна некоторую плоскость $\alpha$, для которогоEF — исключительная прямая. В качестве центра проецирования можно взять произвольную точку Oвне плоскостиABC, а в качестве плоскости $\alpha$ — произвольную плоскость, параллельную плоскостиOEFи не совпадающую с ней. При этом точки A,B,C,Dпроецируются в вершины параллелограмма, который уже при помощи аффинного преобразования можно перевести в квадрат. Если же прямаяEFбесконечно удаленная, тоABCD — уже параллелограмм. б) В силу задачи а) нам достаточно разобрать случай, когдаABCDи A1B1C1D1 — один и тот же параллелограмм. В этом случае его вершины неподвижны, а значит, неподвижны две точки бесконечно удаленной прямой, в которых пересекаются продолжения противоположных сторон. Поэтому согласно задаче 30.14, а) отображение должно быть аффинным, и, следовательно, согласно задаче 29.6, -- тождественным. в) Поскольку прямые lи l1мы можем спроецировать на бесконечность (см. решение задачи а)), нам достаточно доказать, что существует аффинное преобразование, которое данную точку Oотображает в данную точку O1, а прямые, параллельные данным прямым a,b,cсоответственно, отображает на прямые, параллельные данным прямым a1,b1,c1соответственно. Можно считать, что прямые a,b,cпроходят через O, а прямые a1,b1,c1 — через O1. Выберем на cи c1произвольные точки Cи C1и проведем через каждую из них по две прямые a',b'и a1',b1' параллельно прямым a,bи a1,b1соответственно. Тогда аффинное преобразование, которое параллелограмм, ограниченный прямыми a,a',b,b', переводит в параллелограмм, ограниченный прямыми a1,a1',b1,b1' (см. задачу 29.6, в)), является искомым. г) Не обязательно. Преобразование из задачи 30.21(как и тождественное преобразование) оставляет неподвижными точку Oи прямую a.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь