Пусть D' – проекция точки D на плоскость ABC. Обозначим  a = BC,  b = AC,  c = AB,  d = DD',  u = AD',  v = BD',  w = CD'.  Надо доказать неравенство     После возведения в квадрат получаем

  Согласно неравенству Птолемея для точек на плоскости (см. задачу158396а)  cw + bv ≥ au,  то есть  c²w² +b²v² + 2bcvw≥a²u².  Согласно неравенству треугольника  c + b > a,  то есть  c² +b² + 2bc > a².  Следовательно, достаточно доказать, что    Но это – частный случай неравенства Коши – Буняковского (см. задачу161402а).

Ответ задачи отсутствует