Как известно, прямые A'A, B'B, C'C являются биссектрисами треугольника A'B'C' (см. задачу 152866). Поэтому, например, точки A_b, B_a лежат на прямых B'C', A'C' соответственно и  B'A_b = A'B_a = A'B'.   Первый способ. Лемма. На сторонах XZ, YZ треугольника XYZ взяли такие точки Y', X', что  XY' = XY = X'Y.  Тогда  X'Y' ⊥ OI,  где O, I – центры описанной и вписанной окружностей треугольника.

  Доказательство. Достаточно убедиться, что  X'O² – Y'O² = X'I² – Y'I²  (см. задачу 157134)). Пусть x, y, z – длины сторон YZ, ZX, XY;  K – середина YZ. Тогда  X'O² – YO² = X'K² – Y'K² = (z – ^x/₂)² – (^x/₂)² = z(z – x).  Аналогично  Y'O² – XO² = z(z – y).  Кроме того,  X'I² = r² + (z – (p – y))² = r² + (p – x)²,

Y'I² = r² + (p – y)².  Следовательно,  X'O² – Y'O² = X'I² – Y'I² = z(y – x).

  По лемме прямая A_bB_a перпендикулярна прямой, соединяющей центры описанной и вписанной окружностей треугольника A'B'C'. Прямые BcCb и AcCa также перпендикулярны этой прямой, следовательно все три прямые параллельны.   Второй способ. Поскольку  A'B_a = A'B'  и  A'C_a = A'C',  то  B'B_a || C'C_a,  значит,  B'B_a : C'C_a = A'B' : A'C' = B'A_b : C'A_c.  Следовательно, треугольники B'A_bB_a и A_cC_aC' подобны,  ∠B_aA_bB' = ∠C_aA_cC'  и  A_bB_a || A_cC_a.  Аналогично доказывается, что B_aC_b также параллельна этим прямым.

Ответ задачи отсутствует