Олимпиадная задача: кто выигрывает в игре с увеличением числа до 1987?
Задача
Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 1987. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?
Решение
В последовательности 1987, 993, 496, 248, 124, 62, 31, 15, 7, 3 каждое следующее число является неполным частным от деления предыдущего на 2 с остатком. Докажем, что это последовательность выигрышных чисел (то есть игрок, назвавший одно из этих чисел, имеет выигрышную стратегию). Число 1987 является выигрышным по условию. Пусть число 2k или 2k + 1 (k > 2) – выигрышное. Тогда и k – выигрышное число. Действительно, если один игрок называет число k, то другой может назвать только число из отрезка [k + 1, 2k – 1], после чего первый может назвать и 2k и 2k + 1. Начинающий игру обязан назвать число 3 и, следуя указанной стратегии, выиграет.
Ответ
Начинающий.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь