Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, 7-8 класс»

Дана выпуклая фигура, ограниченная дугой <i>A</i> окружности и ломаной <i>ABC</i> так, что дуга и ломаная лежат по разные стороны от хорды <i>AC</i>.

Через середину дуги <i>AC</i> проведите прямую, делящую площадь фигуры пополам.

Три треугольника – белый, зелёный и красный – имеют общую внутреннюю точку <i>M</i>. Докажите, что можно выбрать по одной вершине из каждого треугольника так, чтобы точка <i>M</i> находилась внутри или на границе треугольника, образуемого выбранными вершинами.

2000 яблок лежат в нескольких корзинах. Разрешается убирать корзины и вынимать яблоки из корзин.

Доказать, что можно добиться того, чтобы во всех оставшихся корзинах было поровну яблок, а общее число яблок было не меньше 100.

Даны три неотрицательных числа <i>a, b, c</i>. Про них известно, что   <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴ ≤ 2(<i>a</i>²<i>b</i>² + <i>b</i>²<i>c</i>² + <i>c</i>²<i>a</i>²).

  а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.

  б) Докажите, что   <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² ≤ 2(<i>ab + bc + ca</i>).

  в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?

Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 1987. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.

Найдите геометрическое место точек <i>M</i>, лежащих внутри ромба <i>ABCD</i> и обладающих тем свойством, что  ∠<i>AMD</i> + ∠<i>BMC</i> = 180°.