Олимпиадные задачи из источника «9 турнир (1987/1988 год)»

При каком отношении оснований трапеции существует прямая, на которой шесть точек пересечения с диагоналями, боковыми сторонами и продолжениями оснований трапеции высекают пять равных отрезков?

Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины противоположных сторон <i>BC</i> и <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>. Диагональ <i>AC</i> проходит через середину отрезка <i>MN</i>. Докажите, что треугольники <i>ABC</i> и <i>ACD</i> равновелики.

Из точки<i>M</i>внутри треугольника опущены перпендикуляры на высоты. Оказалось, что отрезки высот от вершин до оснований этих перпендикуляров равны между собой. Докажите, что в этом случае они равны диаметру вписанной в треугольник окружности.

Из вершины <i>A</i> квадрата <i>ABCD</i> со стороной 1 проведены два луча, пересекающие квадрат так, что вершина <i>C</i> лежит между лучами. Угол между лучами равен β. Из вершин <i>B</i> и <i>D</i> проведены перпендикуляры к лучам. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.

Дана выпуклая фигура, ограниченная дугой <i>A</i> окружности и ломаной <i>ABC</i> так, что дуга и ломаная лежат по разные стороны от хорды <i>AC</i>.

Через середину дуги <i>AC</i> проведите прямую, делящую площадь фигуры пополам.

Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B". Первое слово в последовательности – "A", <i>k</i>-е слово получается из (<i>k</i>–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...

  а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?

  б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.

Куб 20×20×20 составлен из 2000 кирпичей размером 2×2×1.

Докажите, что его можно проткнуть иглой так, чтобы игла прошла через две противоположные грани и не уткнулась в кирпич.

Имеется множество билетов с номерами от 1 до 30 (номера могут повторяться). Каждый из учеников вытянул один билет. Учитель может произвести следующую операцию: прочитать список из нескольких (возможно – одного) номеров и попросить их владельцев поднять руки. Сколько раз он должен проделать такую операцию, чтобы узнать номер каждого ученика? (Учеников не обязательно 30.)

<i>P</i>(<i>х</i>) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что числа 1 и 2 являются его корнями. Докажите, что найдётся коэффициент, который меньше –1.

Рассматривается последовательность слов из букв "A" и "B". Первое слово – "A", второе – "B". <i>k</i>-е слово получается приписыванием к (<i>k</i>–2)-му слову справа (<i>k</i>–1)-го (так что начало последовательности имеет вид:  "A", "B", "AB", "BAB", "ABBAB", ...).  Может ли в последовательности встретиться "периодическое" слово, то есть слово, состоящее из нескольких (по меньшей мере двух) одинаковых кусков, идущих друг за другом, и только из них?

Прямой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороной единица. Будем рассматривать ряды клеток, параллельные сторонам угла (<i>вертикальные</i> и <i>горизонтальные</i> ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд клеток содержал все натуральные числа по одному разу?

Можно ли покрыть плоскость окружностями так, чтобы через каждую точку проходило ровно 1988 окружностей?

В наборе имеются гири массой 1 г, 2 г, 4 г, ... (все степени числа 2), причём среди гирь могут быть одинаковые. На две чашки весов положили гири так, чтобы наступило равновесие. Известно, что на левой чашке все гири различны. Докажите, что на правой чашке не меньше гирь, чем на левой.

Решите систему уравнений:

   (<i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ + <i>x</i>₅)⁵ = 3<i>x</i>₁,

   (<i>x</i>₄ + <i>x</i>₅ + <i>x</i>₁)⁵ = 3<i>x</i>₂,

   (<i>x</i>₅ + <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂)⁵ = 3<i>x</i>₃,

   (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i&g...

Дан треугольник <i>ABC</i>. Две прямые, симметричные прямой <i>AC</i> относительно прямых <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, пересекаются в точке <i>K</i>.

Докажите, что прямая <i>BK</i> проходит через центр <i>O</i> описанной около треугольника <i>ABC</i> окружности.

<i>a, b</i> и <i>c</i> – целые числа. Докажите, что если  <i>a = b + c</i>,  то  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴  есть удвоенный квадрат целого числа.

На бесконечной шахматной доске расставлены пешки через три поля на четвёртое, так что они образуют квадратную сетку.

Докажите, что шахматный конь не может обойти все свободные поля, побывав на каждом поле по одному разу.

Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?

В окружность вписаны две равнобочные трапеции так, что каждая сторона одной трапеции параллельна некоторой стороне другой.

Докажите, что диагонали одной трапеции равны диагоналям другой.

Можно ли подобрать четыре непрозрачных попарно непересекающихся шара так, чтобы ими можно было загородить точечный источник света?

Можно ли подобрать такие два натуральных числа <i>X</i> и <i>Y</i>, что <i>Y</i> получается из <i>X</i> перестановкой цифр, и  <i>X + Y</i> = 9...9  (1111 девяток)?

В клетки шахматной доски записаны числа от 1 до 64 (первая горизонталь нумеруется слева направо числами от 1 до 8, вторая от 9 до 16 и т. д.). Перед некоторыми числами поставлены плюсы, перед остальными – минусы, так что в каждой горизонтали и в каждой вертикали по четыре плюса и по четыре минуса. Докажите, что сумма всех чисел равна 0.

  а) Вершины правильного 10-угольника закрашены чёрной и белой краской через одну. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит отрезок, соединяющий вершины одинакового цвета. Эти отрезки не должны иметь общих точек (даже концов) с проведенными ранее. Побеждает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру или его партнер?

  б) Тот же вопрос для 12-угольника.

Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причём Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася – пятёрок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?

Город представляет собой бесконечную клетчатую плоскость (линии – улицы, клеточки – кварталы). На одной улице через каждые 100 кварталов на перекрестках стоит по милиционеру. Где-то в городе есть бандит (местонахождение его неизвестно, но перемещается он только по улицам). Цель милиции – увидеть бандита. Есть ли у милиции способ (алгоритм) наверняка достигнуть своей цели? (Максимальные скорости милиции и бандита какие-то конечные, но не известные нам величины, милиция видит вдоль улиц во все стороны на бесконечное расстояние.)