Олимпиадная задача по планиметрии: касание описанных окружностей треугольников ABC и XYZ

Решение 1:   Пусть BB₁ – третья высота, H_a, H_b, H_c – точки, симметричные ортоцентру H относительно соответствующих сторон треугольника ABC, M – середина стороны AC, P – точка пересечения луча MH с описанной окружностью треугольника ABC (рис. слева).

  Как известно,H_a, H_bиH_cлежат на описанной окружности треугольникаABC(см. задачу155463).    ∠XAC₁= ∠BCA  (как угол между касательной и хордой). С другой стороны,  ∠BCA= ∠B₁C₁A  (см. задачу156508). Поэтому  B₁C₁||AX.  Аналогично  B₁A₁||CY.   ∠XC₁A= ∠BC₁A₁= ∠BCA= ∠XAC₁,  значит,  XA = XC₁.  Кроме того,  MA = MC₁,  следовательно, треугольникиXAMиXC₁Mравны, то естьXM– биссектриса углаAXC₁.   АналогичноYM– биссектриса углаCYA₁. Следовательно,M– центр вписанной окружности треугольникаXYZ.   ТреугольникиH_aH_bH_cиA₁B₁C₁, очевидно, гомотетичны с центром в точкеH. Стороны треугольникаYZX, как показано выше, параллельны соответствующим сторонам треугольникаA₁B₁C₁, поэтому треугольникиH_aH_bH_cиYZXгомотетичны.  PZ – симедианатреугольникаPAC(см. задачу156983). В силу симметрии,  ∠PMC= ∠H_bMC.  Из рис. справа ясно, что биссектриса углаAPCделит пополам уголMPH_b. Следовательно,H_bлежит на симедианеPZ.   Рассмотрим гомотетию, переводящую треугольникYZXв треугольникH_aH_bH_c. При этом описанная окружность треугольникаXYZпереходит в описанную окружность треугольникаABC. H– центр вписанной окружности треугольникаA₁B₁C₁(см. задачу152866) и, следовательно, треугольникаH_aH_bH_c. ПоэтомуMпереходит вH. ТочкаZпереходит вH_b, следовательно, центр гомотетии лежит на прямыхMHиZH_b, то есть в точкеP. Значит, указанные окружности касаются в точкеP.

Решение 2:   Воспользуемся следующим утверждением.

  Пусть окружность касается двух сторон треугольника и его описанной окружности. Тогда отрезок, соединяющий точки касания со сторонами, содержит центр вписанной окружности (см. рис.).

  Очевидно, верно и обратное: если окружность касается двух сторон треугольника, причём отрезок, соединяющий точки касания со сторонами, содержит центр вписанной окружности, то она касается описанной окружности треугольника.

  Рассмотрим треугольник XYZ и описанную окружность треугольника ABC. Отрезок AC, соединяющий точки касания, проходит через центр M вписанной окружности треугольника XYZ. Значит, как сказано выше, описанная окружность треугольника XYZ касается описанной окружности треугольника ABC.

Ответ задачи отсутствует