Олимпиадные задачи по теме «Дроби» для 11 класса - сложность 1-2 с решениями

Мальчик с папой стоят на берегу моря. Если мальчик встанет на цыпочки, его глаза будут на высоте 1 м от поверхности моря, а если сядет папе на плечи, то на высоте 2 м. Во сколько раз дальше он будет видеть во втором случае. (Найдите ответ с точностью до 0,1, радиус Земли считайте равным 6000 км.)

Какое наибольшее значение может принимать выражение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif">   где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?

На экране компьютера стоят в ряд 200 человек. На самом деле эта картинка составлена из 100 фрагментов, на каждом – пара: взрослый и ребёнок пониже ростом. Разрешается в каждом из фрагментов изменить масштаб, уменьшив при этом одновременно рост взрослого и ребёнка в одинаковое целое число раз (масштабы разных фрагментов можно менять независимо друг от друга). Докажите, что это можно сделать так, что на общей картинке все взрослые будут выше всех детей.

При разложении чисел <i>A</i> и <i>B</i> в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа  <i>A + B</i>?

Решить в целых положительных числах уравнение

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/78143/problem_78143_img_2.gif"></div>

Пусть <i>a, b, c, d, l</i> – целые числа. Докажите, что если дробь   <img width="34" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78068/problem_78068_img_2.gif">  сократима на число <i>k</i>, то  <i>ad – bc</i>  делится на <i>k</i>.

Докажите, что первые три цифры частного   <img width="230" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77924/problem_77924_img_2.gif">   суть 0,239.

По мнению Тани, в идеальном кофейном напитке должно быть ровно в 9 раз больше кофе, чем молока. У Глеба есть стакан и кружка, а также целая цистерна молока и огромная турка с неограниченным запасом кофе. Аккуратный Глеб может отпить ровно половину содержимого кружки или стакана. Как Глебу приготовить для Тани целый стакан идеального кофейного напитка, если точный объём кружки неизвестен, но он как минимум на $10%$ больше объёма стакана? Глеб может наливать кофе и молоко в стакан или в кружку, может выливать содержимое, переливать из кружки в стакан или наоборот, отпивать половину содержимого любое конечное количество раз.

Петя загадал положительную несократимую дробь $x = \frac{m}{n}$. За один ход Вася называет положительную несократимую дробь $y$, не превосходящую 1, и Петя в ответ сообщает Васе числитель несократимой дроби, равной сумме $x+y$. Как Васе за два хода гарантированно узнать $x$?

Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{c}{d} + \frac{d}{c}.$$ Докажите, что произведение каких-то двух чисел из $a$, $b$, $c$, $d$ равно произведению двух других.

В ряд записаны  $n > 2$  различных ненулевых чисел, причём каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину. Обратные к этим $n$ числам тоже удалось записать в ряд (возможно, в другом порядке) так, что каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину (возможно, иную, чем в первом случае). Чему могло равняться $n$?

Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите $$\Bigl(1-\frac{2}{f(1)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(2)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(3)}\Bigr)\ldots\Bigl(1-\frac2{f(2019)}\Bigr).$$

Найдите ближайшее целое число к числу <i>x</i>, если  <i>x</i> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65474/problem_65474_img_2.png">.

Найдите у чисел   а)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_2.gif">)¹⁹⁹⁹;   б)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)¹⁹⁹⁹;   в)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)²⁰⁰⁰   первые 1000 знаков после запятой.

Найдите последние три цифры периодов дробей ¹/₁₀₇, ¹/₁₃₁, ¹/₁₅₁. (Это можно сделать, не считая предыдущих цифр.)

Обозначим через  <i>L</i>(<i>m</i>)  длину периода дроби ¹/_<i>m</i>. Докажите, что если  (<i>m</i>, 10) = 1,  то  <i>L</i>(<i>m</i>)  является делителем числа φ(<i>m</i>).

Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите её период:  ¹/₂₄₃ = 0,004115226337448...

Выпишем в ряд все правильные дроби со знаменателем <i>n</i> и сделаем возможные сокращения. Например, для  <i>n</i> = 12  получится следующий ряд чисел:  ⁰/₁, ¹/₁₂, ¹/₆, ¹/₄, ¹/₃, ⁵/₁₂, ¹/₂, ⁷/₁₂, ²/₃, ³/₄, ⁵/₆, ¹¹/₁₂  Сколь...

Докажите, что если <i>p</i> – простое число,  <i>p</i> ≠ 2, 5,  то длина периода разложения ¹/_<i>p</i> в десятичную дробь делит  <i>p</i> – 1.

Приведите пример, когда длина периода совпадает с  <i>p</i> – 1.

а) Докажите, что положительный корень квадратного уравнения  <i>bx</i>² – <i>abx – a</i> = 0,  где <i>a</i> и <i>b</i> – различные натуральные числа, разлагается в чисто периодическую цепную дробь с длиной периода, равной 2.

б) Верно ли обратное утверждение?

Докажите, что если  ^<i>P_n</i>/_{<i>Q_n</i>}  (<i>n</i> ≥ 1)  – подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60620/problem_60620_img_2.gif">   или   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60620/problem_60620_img_3.gif">   Получите отсюда <i>теорему Валена</i>: для любого α найдётся бесконечно много таких дробей ^<i>p</i>/_<i>q</i>, что  |α – ^<i>p</i>/_<i>q</i>| < <sup&g...

Найдите рациональное число, которое отличается от числа

  а)  α = <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60617/problem_60617_img_2.gif">;   б)  α = 2 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60617/problem_60617_img_3.gif">;   в)  α = 3 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60617/problem_60617_img_4.gif">   не более чем на 0,0001.

Из астрономии известно, что год имеет  365,2420... = [365; 4, 7, 1, 3,...]  так называемых "календарных суток". В Юлианском стиле каждый четвёртый год – високосный, то есть состоит из 366 дней. За сколько лет при таком календаре накапливается ошибка в одни сутки? На сколько дней отстает Юлианский календарь за 1000 лет? И вообще, почему он отстает, если юлианский год длиннее астрономического?

Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью  α = [<i>a</i>₀; <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>, ...].  Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/60608/problem_60608_img_2.gif">   где <i>Q_k</i> – знаменатели подходящих дробей.

Докажите, что любое иррациональное число α допускает представление  α = [<i>a</i>₀; <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>_<i>n</i>–1, α_<i>n</i>],  где <i>a</i>₀ – целое, <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>_<i>n</i>–1 – натуральные,  α_<i>n</i> > 1  – иррациональное действительное. Отсюда следует, что каждому иррациональному действительному числу можно поставить в соответствие бесконечную цепную дробь.