Олимпиадные задачи по теме «Показательные функции и логарифмы» для 11 класса - сложность 4 с решениями

При какой перестановке <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₂₀₁₁ чисел 1, 2, ..., 2011 значение выражения <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116235/problem_116235_img_2.png"></div>будет наибольшим?

Докажите, что для всех<i> x<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_2.gif"></i>(0<i>;<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_3.gif"></i>)при<i> n>m </i>, где<i> n,m </i>– натуральные, справедливо неравенство <center>2<i>| sinⁿ x- cosⁿ x|<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_4.gif"> </i>3<i>| sin^m x- cos^m x|; </i></center>

Докажите, что первые цифры чисел вида 2^2ⁿ образуют непериодическую последовательность.

Докажите, что числа вида 2ⁿпри различных целых положительных<i>n</i>могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.

Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1, 9,<nobr>7, 3,</nobr>и<nobr>плохим —</nobr>в противном случае. (Например, число<nobr>197 639 917 —</nobr>плохое, а<nobr>116 519 732 —</nobr>хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное<nobr>число <i>n</i>,</nobr>что среди всех<i>n</i>-значных чисел<nobr>(от 10^{<i>n</i> – 1}</nobr>до<nobr>10^<i>n</i> – 1)</nobr>больше хороших, чем плохих.Постарайтесь найти возможно меньшее <nobr>такое <i>n</i>.</nobr>