Олимпиадные задачи по теме «Тригонометрия» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Найдите наибольшее значение выражения  <i>х + у</i>,  если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116997/problem_116997_img_2.gif">   <i>x</i> ∈ [0, ^3π/₂],   <i>y</i> ∈ [π, 2π].

Известно, что  tg α + tg β = <i>p</i>,  ctg α + ctg β = <i>q</i>.  Найдите   tg(α + β).

Сравните: sin 3 и sin 3°.

Найдите наименьшее положительное значение  <i>x</i> + <i>y</i>,  если  (1 + tg <i>x</i>)(1 + tg <i>y</i>) = 2.

При каких значениях <i>c</i> числа  sin α  и  cos α  являются корнями квадратного уравнения  5<i>x</i>² – 3<i>x + c</i> = 0  (α – некоторый угол)?

Углы треугольника<i> α, β, γ </i>удовлетворяют неравенствам<i> sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α </i>. Докажите, что треугольник остроугольный.

Найдите все пары чисел<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110173/problem_110173_img_2.gif"> </i>(0<i>;<img src="/storage/problem-media/110173/problem_110173_img_3.gif"></i>), удовлетворяющие равенству<i> sin x+ sin y= sin</i>(<i>xy</i>).

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна ^π/₂. Докажите, что  cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.

Что больше:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_2.gif">   или   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_3.gif"> ?

Найти все действительные решения уравнения<i> x²+</i>2<i>x sin xy+</i>1<i>=</i>0.

Решить уравнение<i> 2-log_{sin x} cos x=log_{cos x} sin x. </i>

Известно, что<i>tg</i> $\alpha$+<i>tg</i> $\beta$=<i>p</i>,<i>ctg</i> $\alpha$+<i>ctg</i> $\beta$=<i>q</i>. Найти <i>tg</i> ($\alpha$+$\beta$).

Известно число sin α. Какое наибольшее число значений может принимать  а) sin ^α/₂,   б) sin ^α/₃?

Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии <i>a₁, a₂,..., a₅</i>, все члены которой принадлежат отрезку [0; 3π/2], если числа cos <i>a₁</i>, cos <i>a₂</i>, cos <i>a₃</i>, а также числа sin <i>a₃</i>, sin <i>a₄</i> и sin <i>a₅</i> в некотором порядке тоже образуют арифметические прогрессии.

Пусть <i>x, y, z</i> – любые числа из интервала  (0, ^π/₂).  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98588/problem_98588_img_2.gif">

Числа<i>a</i>и<i>b</i>таковы, что первое уравнение системы <table align="center" border="0"> <tr> <td rowspan="2" valign="middle"><font size="+5">{</font></td> <td>cos <i>x</i>=<i>ax</i>+<i>b</i></td></tr> <tr><td>sin <i>x</i>+<i>a</i>=0</td></tr> </table> имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Числа<i>a</i>и<i>b</i>таковы, что первое уравнение системы <table align="center" border="0"> <tr> <td rowspan="2" valign="middle"><font size="+5">{</font></td> <td>sin <i>x</i>+<i>a</i>=<i>bx</i></td></tr> <tr><td>cos <i>x</i>=<i>b</i></td></tr> </table> имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Найдите наибольшее значение выражения<div align="CENTER"> <i>x</i>$\displaystyle \sqrt{1-y^2}$ + <i>y</i>$\displaystyle \sqrt{1-x^2}$. </div>

Не используя калькуляторов, таблиц и т.п., докажите неравенствоsin 1 < log₃$\sqrt{7}$.

На доске после занятия осталась запись:

  "Вычислить  <i>t</i>(0) − <i>t</i>(^π/₅) + <i>t</i>(^2π/₅) − <i>t</i>(^3π/₅) + ... + <i>t</i>(^8π/₅) − <i>t</i>(^9π/₅),  где  <i>t</i>(<i>x</i>) = cos5<i>x</i> + *cos4<i>x</i> + *cos3<i>x</i> + *cos2<i>x</i> + *cos<i>x</i> + *".

Увидев её, студент мехмата сказал товарищу, что он может вычислить эту сумму, даже не зная значений стёртых с доски коэффициентов (вм...

Найти все действительные решения уравнения  <i>x</i>² + 2<i>x</i> sin(<i>xy</i>) + 1 = 0.

Найдите соотношение между <div align="CENTER"> arcsin cos arcsin <i>x</i>  и  arccos sin arccos <i>x</i>. </div>

Пусть<i>A</i>— произвольный угол,<i>B</i>и<i>C</i>— острые углы. Всегда ли существует такой угол<i>X</i>, что<div align="CENTER"> sin <i>X</i> = $\displaystyle {\frac{\sin B\sin C}{1-\cos A\cos B\cos C}}$? </div>(Из `` Воображаемой геометрии'' Н. И. Лобачевского).

К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a \tan x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\neq0$.

Существует ли функция $f$, определенная на отрезке $[-1;1]$, которая при всех действительных $x$ удовлетворяет равенству $$ 2f(\cos x)=f(\sin x)+\sin x?$$