Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторная геометрия» для 8-9 класса - сложность 1 с решениями

Можно ли начертить два треугольника так, чтобы образовался девятиугольник?

На рисунке изображен параллелограмм и отмечена точка <i>P</i> пересечения его диагоналей. Проведите через <i>P</i> прямую так, чтобы она разбила параллелограмм на две части, из которых можно сложить ромб.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116078/problem_116078_img_2.png"></div>

Разрежьте данную фигуру (см. рисунок) на три равных фигуры. <center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115474/problem_115474_img_2.gif"> </i></center>

Можно ли расположить 12 одинаковых монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно <table cellspacing="0"> <tr><td>а) по 2 монеты;   </td><td>б) по 3 монеты;  </td><td>в) по 4 монеты;</td></tr> <tr><td>г) по 5 монет;   </td><td>д) по 6 монет;   </td><td>е) по 7 монет?</td></tr> </table>(Разрешается класть монеты одну на другую.) В тех случаях, когда это возможно, нарисуйте, как это сделать. В остальных случаях докажите, что так расположить монеты нельзя.

На клетчатой бумаге нарисована фигура (см. рис. 1): в верхнем ряду — одна клеточка, во втором сверху — три клеточки, в следующем ряду — 5 клеточек, и т.д., всего рядов —<i>n</i>. Докажите, что общее число клеточек есть квадрат некоторого числа.<table> <tr><td>

_ ||_ ||||_ ||||||_ |||||||_| .....................

||||| ....... ||||| </pre> </td></tr> <tr><td>Рис. 1</td></tr> </table>

Раскрасьте рисунок в четыре цвета так, чтобы соседние части были покрашены в разные цвета. б) Можно ли обойтись тремя цветами?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/105193/problem_105193_img_2.jpg"></div>

Можно ли расставить на футбольном поле четырёх футболистов так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись 1, 2, 3, 4, 5 и 6 метров?

Можно ли поставить на плоскости 100 точек (сначала первую, потом вторую и так далее до сотой) так, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек, имела ось симметрии?

Наташа сделала из листа клетчатой бумаги календарь на январь 2006 года (см. рисунок) и заметила, что центры клеток 10, 20 и 30 января образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Наташа предположила, что это будет верно и в любом другом году, за исключением тех лет, когда центры клеток 10, 20 и 30 лежат на одной прямой. Права ли Наташа?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/104065/problem_104065_img_2.gif"></div>

Разрежьте фигуру (см. рисунок) на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/104058/problem_104058_img_2.gif"></div>

Сколько квадратов изображено на рисунке?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/104030/problem_104030_img_2.gif"></div>

а) В конструкции на рисунке переложите две спички так, чтобы получилось пять равных квадратов. б) Из новой фигуры уберите 3 спички так, чтобы осталось только 3 квадрата.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/104029/problem_104029_img_2.gif"></div>

а) Из шахматной доски вырезали клетку a1. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1×2?

б) Тот же вопрос, если вырезали две клетки a1 и h8.

в) Тот же вопрос, если вырезали клетки a1 и h1.

Когда Кай справился с этим заданием, Королева дала ему другую ледяную пластинку (см. рисунок). Как разрезать ее на две равные части? <div align="center"> <img src="/storage/problem-media/104002/problem_104002_img_2.gif"> </div>

У Кая есть ледяная пластинка в форме "уголка" (см. рисунок). Снежная Королева потребовала от Кая разрезать ее на четыре равные части. Как ему это сделать? <div align="center"> <img src="/storage/problem-media/104001/problem_104001_img_2.gif" align="center"> </div>

В квадрате 7×7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.

Можно ли разрезать на четыре остроугольных треугольника

  а) какой-нибудь выпуклый пятиугольник,

  б) правильный пятиугольник.

Раскрасьте плоскость в три цвета так, чтобы на каждой прямой были точки не более, чем двух цветов, и каждый цвет был бы использован.

Сколько квадратов со сторонами по линиям сетки можно нарисовать на доске 8×8?

<b>Из треугольника прямоугольник.</b>Разрежьте произвольный треугольник на три части, из которых можно сложить прямоугольник.

<b>Режем буквой Т.</b>Разрежьте фигуру на буквы Т (фигура и буква Т изображены на рисунке). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102848/problem_102848_img_2.gif" border="1"></div>

<b>Вырезаем из прямоугольника.</b>Из прямоугольника 13 × 7 вырежьте 15 прямоугольников 2 × 3.

<b>Из двух квадратов один.</b>Имеются два квадрата 3×3 и 1×1. Разрезать эти квадраты прямыми на части (не более трех), из которых можно было бы сложить один квадрат.

Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?

Каждую грань кубика разбили на четыре равных квадрата и раскрасили эти квадраты в три цвета так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета. Докажите, что в каждый цвет покрашено по 8 квадратиков.