Олимпиадные задачи из источника «Рамблер-Наука - задача дня (www.nature.ru)» для 11 класса - сложность 1 с решениями

Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?

В пространстве даны параллелограмм <i>ABCD</i> и плоскость <i>M</i>. Расстояния от точек <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> до плоскости <i>M</i> равны соответственно <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>.

Найти расстояние <i>d</i> от вершины <i>D</i> до плоскости <i>M</i>.

Существует ли отличный от куба шестигранник, у которого все грани являются равными ромбами?

В пространстве дана плоскость П и точки A и B по одну сторону от П (AB не параллельно П). Рассматриваются сферы, проходящие через точки A и B, касающиеся плоскости П. Докажите, что точки касания этих сфер и плоскости П лежат на одной окружности.

Основание пирамиды Хеопса – квадрат, а её боковые грани – равные равнобедренные треугольники.

Может ли угол грани при вершине пирамиды равняться 100°?

Плоскость, заданная уравнением x+2y+3z=0, разбивает пространство на два полупространства. Узнайте, в одном или в разных полупространствах лежат точки (1,2,-2) и (2,1,-1).

Какое максимальное число плоскостей симметрии может иметь тетраэдр?

Может ли проекция правильного тетраэдра на некоторую плоскость быть квадратом?

В пространстве даны три равных отрезка. Докажите, что найдется плоскость такая, что проекции данных отрезков на нее равны.

Постройте функцию, определенную во всех точках вещественной прямой и непрерывную ровно в одной точке.

Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей через вершину, является многоугольником с нечетным числом сторон?