Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Различные неравенства» для 10-11 класса - сложность 3-4 с решениями
параграф 1. Различные неравенства
НазадДокажите неравенства:
а) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61394/problem_61394_img_2.gif"> б) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61394/problem_61394_img_3.gif"> при <i>n</i> > 1; в) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61394/problem_61394_img_4.gif"> при <i>n</i> > 6.
Даны рациональные положительные <i>p, q</i>, причём <sup>1</sup>/<sub><i>p</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>q</i></sub> = 1. Докажите, что для положительных <i>a</i> и <i>b</i> выполняется неравенство <i>ab ≤ <sup>a<sup>p</sup></sup></i>/<i><sub>p</sub> + <sup>b<sup>q</sup></sup></i>/<sub><i>q</i></sub>.
Докажите неравенство (1 + <i>x</i><sub>1</sub>)...(1 + <i>x</i><sub><i>n</i></sub>) ≥ 2<sup><i>n</i></sup>, где <i>x</i><sub>1</sub>...<i>x<sub>n</sub></i> = 1.
Значения переменных считаются положительными.
Докажите, что при <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i> ≥ 0 выполняется неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61388/problem_61388_img_2.gif">
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <i>a</i>³<i>b</i> + <i>b</i>³<i>c</i> + <i>c</i>³<i>a</i> ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).
Докажите неравенство <i>x</i><sup>α</sup><i>y</i><sup>β</sup>≤ α<i>x</i>+ β<i>y</i> для положительных значений переменных при условии, что α + β = 1 (α, β > 0).