Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Китайская теорема об остатках» - сложность 2 с решениями
параграф 6. Китайская теорема об остатках
НазадВ китайской натурофилософии выделяются пять первоэлементов природы – дерево, огонь, металл, вода и земля, которым соответствуют пять цветов – синий (или зелёный), красный, белый, чёрный и жёлтый. В восточном календаре с древних времен используется 12-летний животный цикл так, что каждому из 12 годов в цикле соответствует одно из животных. Кроме того, каждый год проходит под покровительством одной из стихий и окрашивается в один из цветов:
годы, оканчивающиеся на 0 и 1 – годы металла (цвет белый);
годы, оканчивающиеся на 2 и 3 – это годы воды (цвет чёрный);
годы, оканчивающиеся на 4 и 5 – годы дерева (цвет синий);
годы, оканчивающиеся на 6 и 7 – годы огня (цвет красный);
годы, оканчивающиеся на 8 и 9 – годы земли (цвет жёлтый).
В 60-летнем календарном цикле каждое...
Найдите наименьшее натуральное число, половина которого – квадрат, треть – куб, а пятая часть – пятая степень.
Какие цифры надо поставить вместо звёздочек, чтобы число 454** делилось на 2, 7 и 9?
На столе лежат книги, которые надо упаковать. Если их связать в одинаковые пачки по 4, по 5 или по 6 книг, то каждый раз останется одна лишняя книга, а если связать по 7 книг в пачку, то лишних книг не останется. Какое наименьшее количество книг может быть на столе?
Найдите наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 5, 7 остатки 1, 2, 4, 6 соответственно.
Пользуясь результатом задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160823">160823</a>, укажите в явном виде число <i>x</i>, которое удовлетворяет системе из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160825">160825</a>.
Натуральные числа <i>m</i><sub>1</sub>, ..., <i>m<sub>n</sub></i> попарно взаимно просты. Докажите, что число <i>x</i> = (<i>m</i><sub>2</sub>...<i>m<sub>n</sub></i>)<sup>φ(<i>m</i><sub>1</sub>)</sup> является решением системы
<i>x</i> ≡ 1 (mod <i>m</i><sub>1</sub>),
<i>x</i> ≡ 0 (mod <i>m</i><sub>2</sub>),
...
<i>x</i> ≡ 0 (mod <i>m<sub>n</sub></i>).
Натуральные числа <i>m</i><sub>1</sub>, ..., <i>m<sub>n</sub></i> попарно взаимно просты. Докажите, что сравнение <i>a</i> ≡ <i>b</i> (mod <i>m</i><sub>1</sub><i>m</i><sub>2</sub>...<i>m<sub>n</sub></i>) равносильно системе
<i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i><sub>1</sub>),
<i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i><sub>2</sub>),
...
<i>a ≡ b</i> (mod <i>m<sub>n</sub></i>).
При каких целых <i>n</i> число <i>n</i>² + 3<i>n</i> + 1 делится на 55?