Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Числа, дроби, системы счисления» для 10-11 класса - сложность 2 с решениями

Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней):   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .

Докажите, что каждое целое число<i>A</i>представимо в виде<div align="CENTER"> <i>A</i> = <i>a</i>₀ + 2<i>a</i>₁ + 2²<i>a</i>₂ +...+ 2ⁿ<i>a</i>_n, </div>где каждое из чисел<i>a</i>_k= 0, 1 или -1 и<i>a</i>_k<i>a</i>_{k + 1}= 0 для всех0$\leqslant$<i>k</i>$\leqslant$<i>n</i>- 1, причем такое представление единственно.

Коля Васин задумал число от 1 до 200. За какое наименьшее число вопросов вы сможете его отгадать, если он отвечает на каждый вопрос а) да'' или нет''; б) да'', нет'' или ``не знаю''?

Пусть<i>l</i>(<i>n</i>) — наименьшее число умножений, необходимое для нахождения<i>x</i>ⁿ. На примере чисел<i>n</i>= 15 и<i>n</i>= 63 покажите, что бинарный метод возведения в степень (смотри задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160902">5.64</a>) не всегда оптимален, то есть для некоторых<i>n</i>выполняется неравенство<i>l</i>(<i>n</i>) <<i>b</i>(<i>n</i>).

<b>Бинарный метод возведения в степень.</b>Предположим, что необходимо возвести число<i>x</i>в степень<i>n</i>. Если, например,<i>n</i>= 16, то это можно сделать выполнив 15 умножений<i>x</i>¹⁶=<i>x</i>^.<i>x</i>^....^.<i>x</i>, а можно обойтись лишь четырьмя:<div align="CENTER"> <i>x</i>₁ = <i>x</i>^.<i>x</i> = <i>x</i>²,    <i>x</i>₂ = <i>x</i>₁^.<i>x</i><sub&gt...

С числом разрешается производить две операции: увеличить в два раза'' и увеличить на 1''. За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить а) число 100; б) число<i>n</i>?

а) Имеются две веревки. Если любую из них поджечь с одного конца, то она сгорит за час. Веревки горят неравномерно. Например, нельзя гарантировать, что половина веревки сгорает за 30 минут. Как, имея две такие веревки, отмерить промежуток времени в 15 минут? б) Сколько промежутков времени (считая нулевой) можно отмерить, имея три такие веревки?

Найдите последние три цифры периодов дробей ¹/₁₀₇, ¹/₁₃₁, ¹/₁₅₁. (Это можно сделать, не считая предыдущих цифр.)

Докажите, что не существует целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец увеличивались бы в 5, 6 или 8 раз.

Найдите все шестизначные числа, которые увеличиваются в целое число раз при перенесении последней цифры в начало.

Найдите все шестизначные числа, которые уменьшаются втрое при перенесении последней цифры на первое место.

Обозначим через  <i>L</i>(<i>m</i>)  длину периода дроби ¹/_<i>m</i>. Докажите, что если  (<i>m</i>, 10) = 1,  то  <i>L</i>(<i>m</i>)  является делителем числа φ(<i>m</i>).

Докажите, что если  (<i>m</i>, 30) = 1,  то число, состоящее из цифр периода дроби ¹/_<i>m</i>, делится на 9.

<i>Репьюнитами</i> называются числа   <img align="middle" src="/storage/problem-media/60882/problem_60882_img_2.gif">   Докажите, что если  (<i>m</i>, 10) = 1,  то частное  ^9<i>E_n</i>/_<i>m</i>,  записанное как <i>n</i>-значное число (возможно с нулями в начале), состоит из нескольких периодов десятичного представления дроби ¹/_<i>m</i>. Кроме того, если еще выполнены условия  (<i>m</i>, 3) = 1  и <i>E_n</i> – первый репьюнит, делящийся на <i>m</i>, то число  <sup>9<i>E_n</i></sup&gt...

Пусть  (<i>n</i>, 10) = 1,  <i>m < n</i>,  (<i>m, n</i>) = 1,  и <i>t</i> – наименьшее число, при котором  10^<i>t</i> – 1  делится на <i>n</i>.

Докажите, что <i>t</i> кратно длине периода дроби ^<i>m</i>/_<i>n</i>.

Будет ли это длина периода?

Найдите возможные значения знаменателя обычной дроби вида ¹/_<i>m</i>, которая представляется чисто периодической десятичной дробью с двумя цифрами в периоде.

Докажите, что если  (<i>m</i>, 10) = 1,  то у десятичного представления дроби ¹/_<i>m</i> нет предпериода.

Докажите, что если  (<i>m</i>, 10) = 1,  то существует репьюнит <i>E_n</i>, делящийся на <i>m</i>. Будет ли их бесконечно много?

Докажите, что равенство   <img width="60" height="50" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60876/problem_60876_img_2.gif"> = <img width="76" height="28" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60876/problem_60876_img_3.gif">   равносильно тому, что десятичное представление дроби ¹/_<i>m</i> имеет вид  0,(<i>a</i>₁<i>a</i>₂...<i>a_n</i>).

При каких натуральных <i>n</i> число  (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> + 1)^<i>n</i> – (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> – 1)^<i>n</i>  будет целым?

Докажите, что на окружности с центром в точке  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60869/problem_60869_img_2.gif">  лежит не более одной точки целочисленной решетки.

Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

Докажите, что при<i>x</i>≠π<i>n</i>(<i>n</i>– целое) sin <i>x</i>и cos <i>x</i>рациональны тогда и только тогда, когда число<i>tg</i> ${\dfrac{x}{2}}$рационально.

При каких натуральных <i>a</i> и <i>b</i> число log<i>_ab</i> будет рациональным?

<b>Формула сложного радикала.</b>Докажите равенство:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{a\pm\sqrt{b}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}$±$\displaystyle \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$. </div>