Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Комплексная плоскость» для 9 класса - сложность 2-5 с решениями

Найдите все корни уравнения  (<i>z</i> – 1)^<i>n</i> = (<i>z</i> + 1)^<i>n</i>.

Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?

Найдите остаток от деления многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>^6<i>n</i> + <i>x</i>^5<i>n</i> + <i>x</i>^4<i>n</i> + <i>x</i>^3<i>n</i> + <i>x</i>^2<i>n</i> + <i>xⁿ</i> + 1  на  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁶ + <i>x</i>⁵ + <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> + 1,  если известно, что &...

Пусть <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>x</i> – 1.  Докажите, что <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>xⁿ</i> – 1.

При каких <i>n</i>

  а) многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i> + <i>xⁿ</i> + 1  делится на  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1?

  б) многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i> – <i>xⁿ</i> + 1  делится на  <i>x</i>² – <i>x</i> + 1?

Докажите, что корни уравнения  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61134/problem_61134_img_2.gif">  где <i>a, b, c</i> – попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках <i>a, b, c</i>, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).

Пусть <i>z</i>₁, <i>z</i>₂, ..., <i>z_n</i> – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек  <i>z</i> = λ₁<i>z</i>₁ + λ₂<i>z</i>₂ + ... + λ<i>_nz_n</i>,  где λ₁, λ₂, ..., λ_<i>n</i> – такие действительные положительные числа, что  λ₁ + λ₂ + ... + λ_<i>n</i> = 1.

Пусть <i>z</i>₁, ..., <i>z_n</i> – отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости  α < arg <i>z</i> < α + π.  Докажите, что

  а)  <i>z</i>₁ + ... + <i>z_n</i> ≠ 0;

  б)  ¹/_<i>z</i>₁ + ... + ¹/_{<i>z_n</i>} ≠ 0.

а) Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61128/problem_61128_img_2.gif"> б) Вычислите суммы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61128/problem_61128_img_3.gif">

а) Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61127/problem_61127_img_2.gif"> б) Вычислите сумму   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61127/problem_61127_img_3.gif">

Используя разложение  (1 + <i>i</i>)^<i>n</i>  по формуле бинома Ньютона, найдите:

  а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_3.gif">

а) Докажите равенство:   cos φ + ... + cos <i>n</i>φ = <img width="115" height="58" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61123/problem_61123_img_2.gif">;

б) Вычислите сумму:   sinφ + ... + sin <i>n</i>φ.

Докажите, что произвольный многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение многочленов первой и второй степени, которые также будут иметь действительные коэффициенты.

Пусть многочлен с действительными коэффициентами <i>f</i>(<i>x</i>) имеет корень  <i>a + ib</i>.  Докажите, что число  <i>a – ib</i>  также будет корнем <i>f</i>(<i>x</i>).

Решите уравнения:

 а)  <i>z</i>⁴ = <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61112/problem_61112_img_2.gif">⁴;   б)  <i>z</i>² + |<i>z</i>| = 0;   в)  <i>z</i>² + <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61112/problem_61112_img_2.gif"> = 0;   г)  <i>z</i>² + |<i>z</i>|² = 0;   д)  (<i>z + i</i>)⁴ = (<i>z – i</i>)⁴;   е)  <i>z</i>³ – <img width="12" height="14" align="BO...

Пусть <i>a, b</i> – натуральные числа и  (<i>a, b</i>) = 1.  Докажите, что величина  <img align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61111/problem_61111_img_2.gif">  не может быть действительным числом за исключением случаев

(<i>a, b</i>) = (1, 1), (1,3), (3,1).

Найдите все значения корней:

  a)  <img width="23" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61110/problem_61110_img_2.gif">;   б)  <img width="39" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61110/problem_61110_img_3.gif">;   в)  <img width="43" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61110/problem_61110_img_4.gif">;   г)  <img width="51" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61110/problem_61110_img_5.gif">;   д)  <img width="39" height="35"...

Известно, что  <i>z + z</i>^–1 = 2 cos α.

  а) Докажите, что  <i>zⁿ + z^–n</i> = 2 cos <i>n</i>α.

  б) Как выражается  <i>zⁿ + z^–n</i>  через  <i>y = z + z</i>^–1?

Докажите равенство  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61107/problem_61107_img_2.gif">

Последовательность многочленов  <i>P</i>₀(<i>x</i>) = 1,  <i>P</i>₁(<i>x</i>) = <i>x</i>,  <i>P</i>₂(<i>x</i>) = <i>x</i>² – 1, ...  задается условием  <i>P</i>_<i>n</i>+1(<i>x</i>) = <i>xP_n</i>(<i>x</i>) – <i>P</i>_<i>n</i>–1(<i>x</i>).

Докажите, что уравнение  <i>P</i>₁₀₀(<i>x</i>) = 0  имеет 100 различных действительных корней на отрезке  [–2, 2].  Что это за корни?

Докажите, что у многочлена 2<i>T_n</i>(^<i>x</i>/₂) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.

Здесь <i>T_n</i> – многочлен Чебышёва, смотри задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161099">161099</a>.

Проверьте, что многочлены Чебышёва <i>T_n</i>(<i>x</i>) и <i>U_n</i>(<i>x</i>) (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161099">161099</a>) удовлетворяют начальным условиям

<i>T</i>₀(<i>x</i>) = 1,   <i>T</i>₁(<i>x</i>) = <i>x</i>;   <i>U</i>₀(<i>x</i>) = 1,   <i>U</i>₁(<i>x</i>) = 2<i>x</i>,   и рекуррентным формулам   <i>T</i>_<i>n</i>+1(<i>x</i>) = 2<i>xT_n</i>(<i&...

а) Используя формулу Муавра, докажите, что  cos <i>nx</i> = <i>T_n</i>(cos <i>x</i>),  sin <i>nx</i> = sin <i>x</i> <i>U</i>_<i>n</i>–1(cos <i>x</i>),  где <i>T_n</i>(<i>z</i>) и <i>U_n</i>(<i>z</i>) – многочлены степени <i>n</i>.

При этом по определению  <i>U</i>₀(z) = 1.

б) Вычислите в явном виде эти многочлены для  <i>n</i> = 0, 1, 2, 3, 4, 5.   Многочлены <i>T_n</i>(<i>z</i>) и <i>U_n</i>(<i>z</i>) называют...

Решите уравнение  <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> + 1 = 0.

Вычислите

  a)  (1 + <i>i</i>)^<i>n</i>;   б)  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61093/problem_61093_img_2.gif">   в)  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61093/problem_61093_img_3.gif">   г)  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61093/problem_61093_img_4.gif">   д)   (1 + cos φ + <i>i</i>sin φ)^<i>n</i>;   е)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61093/problem_61093_img_5.gif">   ж)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61093/problem_61093_img_6.gif">

Докажите равенства: а)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61092/problem_61092_img_2.gif"> б)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61092/problem_61092_img_3.gif">