Олимпиадные задачи из источника «глава 7. Комплексные числа» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что дробно-линейные отображения являются взаимно-однозначными отображениями расширенной комплексной плоскости.

Как действуют отображения  <img width="80" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61159/problem_61159_img_2.gif">  и  <img width="80" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61159/problem_61159_img_3.gif">  в случае, когда  δ = <i>ad – bc</i> = 0?

Представить гомотетию  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61153/problem_61153_img_2.gif">  с центром в точке <i>i</i> с коэффициентом 2 в виде композиции параллельного переноса и гомотетии с центром в точке <i>O</i>.

Как представить в виде  <i>w = f</i>(<i>z</i>)  симметрию относительно прямой <i>l</i>, проходящей через начало координат под углом φ к оси <i>Ox</i>?

Каким геометрическим преобразованиям плоскости соответствуют следующие отображения:

  а)  <i>w = z + a</i>;   б) <i>w</i> = 2<i>z</i>;   в) <i>w</i> = <i>z</i>(cos φ + <i>i</i> sin φ);   г)   <i>w</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>z</i></span> ?

Во что перейдёт угол градусной меры α вершиной в начале координат в результате преобразования  <i>w = z</i>³?

Во что перейдёт треугольник с вершинами в точках: 0,  1 – <i>i</i>,  1 + <i>i</i>  в результате преобразования  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61148/problem_61148_img_2.gif">

Пусть <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>x</i> – 1.  Докажите, что <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>xⁿ</i> – 1.

Докажите, что при любых целых <i>a</i> и натуральном <i>n</i> выражение  (<i>a</i> + 1)^2<i>n</i>+1 + <i>a</i>^<i>n</i>+2  делится на  <i>a</i>² + <i>a</i> + 1.

При каких <i>n</i>

  а) многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i> + <i>xⁿ</i> + 1  делится на  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1?

  б) многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i> – <i>xⁿ</i> + 1  делится на  <i>x</i>² – <i>x</i> + 1?

Пусть <i>z</i>₁, <i>z</i>₂, ..., <i>z_n</i> – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек  <i>z</i> = λ₁<i>z</i>₁ + λ₂<i>z</i>₂ + ... + λ<i>_nz_n</i>,  где λ₁, λ₂, ..., λ_<i>n</i> – такие действительные положительные числа, что  λ₁ + λ₂ + ... + λ_<i>n</i> = 1.

Пусть <i>z</i>₁, ..., <i>z_n</i> – отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости  α < arg <i>z</i> < α + π.  Докажите, что

  а)  <i>z</i>₁ + ... + <i>z_n</i> ≠ 0;

  б)  ¹/_<i>z</i>₁ + ... + ¹/_{<i>z_n</i>} ≠ 0.

Используя разложение  (1 + <i>i</i>)^<i>n</i>  по формуле бинома Ньютона, найдите:

  а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_3.gif">

Перепишите формулы Муавра (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161088">161088</a>), используя вместо тригонометрических функций комплексную экспоненту.

Выразите функции sin <i>x</i> и cos <i>x</i> через комплексную экспоненту.

Докажите, что для любых комплексных чисел <i>z, w</i> справедливо равенство  <i>e^ze^w = e^z+w</i>.

Пусть многочлен с действительными коэффициентами <i>f</i>(<i>x</i>) имеет корень  <i>a + ib</i>.  Докажите, что число  <i>a – ib</i>  также будет корнем <i>f</i>(<i>x</i>).

Решите уравнения:

 а)  <i>z</i>⁴ = <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61112/problem_61112_img_2.gif">⁴;   б)  <i>z</i>² + |<i>z</i>| = 0;   в)  <i>z</i>² + <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61112/problem_61112_img_2.gif"> = 0;   г)  <i>z</i>² + |<i>z</i>|² = 0;   д)  (<i>z + i</i>)⁴ = (<i>z – i</i>)⁴;   е)  <i>z</i>³ – <img width="12" height="14" align="BO...

Найдите все значения корней:

  a)  <img width="23" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61110/problem_61110_img_2.gif">;   б)  <img width="39" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61110/problem_61110_img_3.gif">;   в)  <img width="43" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61110/problem_61110_img_4.gif">;   г)  <img width="51" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61110/problem_61110_img_5.gif">;   д)  <img width="39" height="35"...

При подстановке в многочлены Чебышёва (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161099">161099</a>) числа  <i>x</i> = cos α  получаются значения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61109/problem_61109_img_2.gif"> Что будет, если в многочлены Чебышёва подставить число  <i>x</i>= sin α?

Докажите равенство  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61107/problem_61107_img_2.gif">

Докажите, что у многочлена 2<i>T_n</i>(^<i>x</i>/₂) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.

Здесь <i>T_n</i> – многочлен Чебышёва, смотри задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161099">161099</a>.

Проверьте, что многочлены Чебышёва <i>T_n</i>(<i>x</i>) и <i>U_n</i>(<i>x</i>) (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161099">161099</a>) удовлетворяют начальным условиям

<i>T</i>₀(<i>x</i>) = 1,   <i>T</i>₁(<i>x</i>) = <i>x</i>;   <i>U</i>₀(<i>x</i>) = 1,   <i>U</i>₁(<i>x</i>) = 2<i>x</i>,   и рекуррентным формулам   <i>T</i>_<i>n</i>+1(<i>x</i>) = 2<i>xT_n</i>(<i&...

Решите уравнение  <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> + 1 = 0.

Докажите, что все корни уравнения  <i>zⁿ</i> = 1  могут быть записаны в виде  1, α, α², ..., α^<i>n</i>–1.