Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Алгебра + геометрия» для 9 класса - сложность 3-5 с решениями

Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_1\cdot a_2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_2\cdot a_3}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_n\cdot a_{n+1}}}$, </div>если числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,...,<i>a</i>_{n + 1}образуют арифметическую прогрессию с разностью<i>r</i>(<i>a</i>₁> 0,<i>r</i>> 0).

Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+1\cdot2x^2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+2\cdot 3x^2}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+n\cdot(n+1)x^2}}$    (<i>x</i> > 0). </div>

Найдите алгебраическую связь между углами$\alpha$,$\beta$и$\gamma$, если известно, что<div align="CENTER"> <i>tg</i> $\displaystyle \alpha$ + <i>tg</i> $\displaystyle \beta$ + <i>tg</i> $\displaystyle \gamma$ = <i>tg</i> $\displaystyle \alpha$^.<i>tg</i> $\displaystyle \beta$^.<i>tg</i> $\displaystyle \gamma$. </div>

Решите систему     <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61173/problem_61173_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61173/problem_61173_img_3.gif"> Какой геометрический смысл она имеет?

Решите уравнения при0^<tt>o</tt><<i>x</i>< 90^<tt>o</tt>: a) $\sqrt{13-12\cos x}$+$\sqrt{7-4\sqrt3\sin x}$= 2$\sqrt{3}$;б) $\sqrt{2-2\cos x}$+$\sqrt{10-6\cos x}$=$\sqrt{10-6\cos 2x}$;в) $\sqrt{5-4\cos x}$+$\sqrt{13-12\sin x}$=$\sqrt{10}$.

а) Используя геометрические соображения, докажите, что основание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом36^<tt>o</tt>при вершине несоизмеримы. б) Придумайте геометрическое доказательство иррациональности$\sqrt{2}$.

Найдите  cos 36°  и  cos 72°.

Вычислите

  а)  cos ^π/₉ cos ^4π/₉ cos ^7π/₉;

  б)  cos ^π/₇ + cos ^3π/₇ + cos ^5π/₇.

Докажите равенства:

  a)  cos ^π/₅ – cos ^2π/₅ = ½;

  б)  cosec ^π/₇ = cosec ^2π/₇ + cosec ^3π/₇;

  в)  sin 9° + sin 49° + sin 89° + ... + sin 329° = 0.

Докажите, что в любом треугольнике точка <i>H</i> пересечения высот (ортоцентр), центр <i>O</i> описанной окружности и точка <i>M</i> пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка <i>M</i> расположена между точками <i>O</i> и <i>H</i>, и <i>MH</i> = 2<i>MO</i>.

Пусть <i>О</i> – центр правильного многоугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃...<i>A_n</i>,  <i>X</i> – произвольная точка плоскости. Докажите, что:

   a)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_2.gif">    б)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_3.gif">

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.