Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Уравнения и системы» для 8-10 класса - сложность 1-2 с решениями

Имеется система уравнений     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0.Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.

Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 4<i>a</i>₂ + 3<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 4<i>a</i>₃ + 3<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 4<i>a</i>₄ + 3<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 4<i>a</i>₁₀₀ +...

Составьте систему, состоящую из двух линейных уравнений, для которой строки  (1, 1, 1, 1)  и  (1, 2, 2, 1)  служат решениями.

Может ли система линейных уравнений с действительными коэффициентами иметь в точности два различных решения?

Решите системы уравнений. Для каждой из них выясните, при каких значениях параметров система не имеет решений, а при каких имеет бесконечно много решений. а) <img width="18" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_2.gif"><img width="130" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_3.gif">б) <img width="18" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_2.gif"><img width="138" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/...

За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из гномов переливает ¼ своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и наконец четвёртый гном ¼ оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л. Сколько молока было первоначально в кружках, если

  а) в конце у всех гномов молока оказалось поровну?

  б) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале?

На рисунках изображены разбиения прямоугольников на квадраты. Найдите стороны этих квадратов, если в первом случае сторона наименьшего квадрата равна 1, а во втором — 2. а) <img width="105" height="89" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_2.gif" alt="\begin{picture} (75,65)\put(0,0){\line(1,0){65}}\put(0,55){\line(1,0){65}} \pu... ...e(0,1){20}}\put(65,0){\line(0,1){55}} \put(30,20){\line(0,1){35}} \end{picture}">

б) <img width="111" height="98" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_3.gif" alt="\begin{picture} (55,65)\put(0,0){\line(1,0){69}}\put(0,61){\line(1,0){69}}\put(... ...(0,1){25...

Решите системы а) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_2.gif"><img width="190" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_3.gif">б) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_4.gif"><img width="203" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_5.gif"> в) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0"...

Коля Васин гулял после школы пять часов. Сначала он шёл по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Его скорость была 4 км/ч на горизонтальном участке пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч – при спуске с горы. Какое расстояние прошёл Коля Васин?

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные <i>n</i>-угольники. Обозначим их периметры через <i>P_n</i> (для описанного) и <i>p_n</i> (для вписанного).

   а) Найдите <i>P</i>₄, <i>p</i>₄, <i>P</i>₆ и <i>p</i>₆.

   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    <i>P</i>_2<i>n</i> = <img width="63" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61335/problem_61335_img_2.gif">,        <i>p</i&...

Метод Ньютона (см. задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">9.77</a>) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения<i>f</i>(<i>x</i>) = 0. Для многочлена<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>(<i>x</i>- 1)(<i>x</i>+ 1) найдите начальное условие<i>x</i>₀такое, что<i>f</i>(<i>x</i>₀)$\ne$<i>x</i>₀и<i>x</i>₂=<i>x</i>₀.

Докажите, что касательная к графику функции<i>f</i>(<i>x</i>), построенная в точке с координатами(<i>x</i>₀;<i>f</i>(<i>x</i>₀)) пересекает ось<i>Ox</i>в точке с координатой<div align="CENTER"> <i>x</i>₀ - <img width="50" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61327/problem_61327_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}}$">. </div>

Назовём <i>геометрико-гармоническим средним</i> чисел <i>a</i> и <i>b</i> общий предел последовательностей {<i>a_n</i>} и {<i>b_n</i>}, построенных по правилу <div align="CENTER"><i>a</i>₀ = <i>a,   b</i>₀ = <i>b</i>,   <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61324/problem_61324_img_2.gif">,   <i>b</i>_<i>n</i>+1 = <img width="53" height="39" align="MIDDLE...

Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, и  <i>a < b</i>.  Определим две последовательности чисел {<i>a_n</i>} и {<i>b</i>_n} формулами: <div align="CENTER"><i>a</i>₀ = <i>a, &nbsp b</i>₀ = <i>b,   a</i>_<i>n</i>+1 = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61323/problem_61323_img_2.gif">,   <i>b</i>_<i>n</i>+1 = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border=&quo...

Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, причём  <i>a < b</i>.  Построим по этим числам две последовательности {<i>a_n</i>} и {<i>b_n</i>} по правилам: <div align="CENTER"><i>a</i>₀ = <i>a</i>,   <i>b</i>₀ = <i>b</i>,   <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <img width="53" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61322/problem_61322_img_2.gif">,   <i>b</i>_<i>n</i>+1 = <img width="60" height="...

Решите уравнение$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$=<i>x</i>.

Докажите, что для монотонно возрастающей функции<i>f</i>(<i>x</i>) уравнения<i>x</i>=<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) и<i>x</i>=<i>f</i>(<i>x</i>) равносильны.

Числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ...,<i>a</i>_kтаковы, что равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$(<i>x</i>_n + <i>a</i>₁<i>x</i>_{n - 1} +...+ <i>a</i>_k<i>x</i>_{n - k}) = 0 </div>возможно только для тех последовательностей {<i>x</i>_n}, для которых$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>x</i>_n= 0. Докажите, что все корни многочлена<div align="CENTER"> <i>P</i>($\displaystyle \lambda$)...

Последовательность чисел {<i>a</i>_n} задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 1,        <i>a</i>_{n + 1} = <i>a</i>_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Верно ли, что эта последовательность ограничена?

Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит<i>итерационная ломаная</i>. Для ее построения на плоскости<i>Oxy</i>рисуется график функции<i>f(x)</i>и проводится биссектриса координатного угла — прямая<i>y</i>=<i>x</i>. Затем на графике функции отмечаются точки<i>A₀(x₀,f(x₀))</i>,<i>A₁(x₁,f(x₁))</i>,...,<i>A_n(x_n,f(x_n))</i>,... а на биссектрисе координатного угла — точки<i>B₀(x₀,x₀)</i>,<i>B<...

<b>Метод итераций.</b>Для того, чтобы приближенно решить уравнение, допускающее запись<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>, применяется метод итераций. Сначала выбирается некоторое число<i>x</i>₀, а затем строится последовательность {<i>x</i>_n} по правилу<i>x</i>_{n + 1}=<i>f</i>(<i>x</i>_n)(<i>n</i>$\geqslant$0). Докажите, что если эта последовательность имеет предел<i>x</i>* =$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>x</i>_n, и функция<i>f</i>(<i>x</i>) непрерывна, то этот предел является корнем исходного уравнения:<i>f</i&...

К чему будет стремиться последовательность из предыдущей задачи<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161297">9.46</a>, если в качестве начального условия выбрать<i>x</i>₁= - 1?

<b>Вавилонский алгоритм вычисления $\sqrt{2}$.</b>Последовательность чисел {<i>x</i>_n} задана условиями:<div align="CENTER"> <i>x</i>₁ = 1,        <i>x</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right.$<i>x</i>_n + $\displaystyle {\frac{2}{x_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right)$        (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Докажите, что$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>x</i>_n=$\sqrt{2}$.

Решите систему: $\left{\vphantom{ \begin{array}{rcl} \hbox{\rm tg\ }x\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=... ...box{\rm tg\ }y\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&6,\ x+y+z&=&\pi. \end{array} }\right.$$\begin{array}{rcl} \hbox{\rm tg\ }x\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&3,\ \hbox{\rm tg\ }y\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&6,\ x+y+z&=&\pi. \end{array}$

Пусть  |<i>x</i>₁| ≤ 1  и   |<i>x</i>₂| ≤ 1.  Докажите неравенство   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61288/problem_61288_img_2.gif">