Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Уравнения третьей степени»

  Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.

  а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду  <i>x</i>⁴ = <i>Ax</i>² + <i>Bx + C</i>.     (*)

  б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде  <i>x</i>⁴ + 2α<i>x</i>² + α² = (<i>A</i> + 2α)<i>x</i>² + <i>Bx</i> + (<i>C</i> + α²).     (**)

    Докажите, что для некоторого  α > – ^<i>A</i>/₂  правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.

  в) Пользуясь...

а) Докажите, что при  4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² < 0  уравнение  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  заменой  <i>x</i> = α<i>y</i> + β  сводится к уравнению <i>ay</i>³ – 3<i>by</i>² – 3<i>ay + b</i> = 0    () от переменной <i>y</i>. б) Докажите, что решениями уравнения () будут числа   <i>y</i>₁ = tg <img width="18" height="43" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61279/problem_61279_img_2.gif">,   <i>y</i>₂ = tg <img width="55" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/probl...

Докажите, что если уравнения  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0,  <i>x</i>³ + <i>p'x + q'</i> = 0  имеют общий корень, то  (<i>pq' – qp'</i>)(<i>p – p'</i>)² = (<i>q – q'</i>)³.

Докажите, что если корни многочлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен

<i>f'</i>(<i>x</i>) = 3<i>x</i>² + 2<i>ax + b</i>  имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

Решите уравнения

  а)  <i>x</i>³ – 3<i>x</i> – 1 = 0;

  б)  <i>x</i>³ – 3<i>x</i> – <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61276/problem_61276_img_2.gif"> = 0.

Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

Когда  4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² < 0,  уравнение  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.

  а) Докажите, что при  <i>p</i> < 0  уравнение  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  заменой  <i>x = kt</i>  сводится к уравнению  4<i>t</i>³ – 3<i>t – r</i> = 0   (*)  от переменной <i>t</i>.

  б) Докажите, что при  4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² ≤ 0  решениями уравнения (*) будут числа  <i>t</i>&lt...

Изобразите на фазовой плоскости <i>Opq</i> множество точек  (<i>p, q</i>),  для которых уравнение  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  имеет три различных корня, принадлежащих интервалу  (–2, 4).

Изобразите на фазовой плоскости <i>Opq</i> множества точек  (<i>p, q</i>),  для которых все корни уравнения  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  не превосходят по модулю 1.

Изобразите на фазовой плоскости <i>Opq</i> множества точек  (<i>p, q</i>),  для которых уравнение  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  имеет

  а) один корень;   б) два корня;   в) три различных корня;   г) три совпадающих корня.

Кривая  4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² = 0  на фазовой плоскости <i>Opq</i> называется <i>дискриминантной кривой</i> уравнения  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0.  Прямые  <i>ap + q + a</i>³ = 0,  соответствующие трёхчленам, имеющим корень <i>a</i>, называются <i>корневыми</i>. Каково взаимное расположение на фазовой плоскости <i>Opq</i> дискриминантной кривой и корневых прямых? Имеют ли они общие точки, и, если имеют, то сколько?

Найдите все действительные значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнения  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + 18 = 0,   <i>x</i>³ + <i>bx</i> + 12 = 0  имеют два общих корня, и определите эти корни.

Докажите, что равенство  4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² = 0  является необходимым и достаточным условием для совпадения по крайней мере двух корней уравнения

<i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0.

Пусть уравнение  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  имеет корни <i>x</i>₁, <i>x</i>₂ и <i>x</i>₃. Выразите через <i>p</i> и <i>q</i> дискриминант этого уравнения   <i>D</i> = (<i>x</i>₁ – <i>x</i>₂)²(<i>x</i>² – <i>x</i>₃)²(<i>x</i>₃ – <i>x</i>₁)².

Докажите, что если <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃ – корни уравнения  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0, то   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61267/problem_61267_img_2.gif">

Решите уравнение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61266/problem_61266_img_2.gif">   Сколько действительных корней оно имеет?

При всех значениях параметра <i>a</i> найдите число действительных корней уравнения  <i>x</i>³ – <i>x – a</i> = 0.

Выпишите уравнение, корнем которого будет число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61264/problem_61264_img_2.gif">   Запишите число α без помощи радикалов.

Решите уравнение  <i>x</i>³ + <i>x</i> – 2 = 0  подбором и по формуле Кардано.

Получите формулу для корня уравнения  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0:

    <i>x</i> = <img width="138" height="75" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61262/problem_61262_img_2.gif"> + <img width="138" height="75" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61262/problem_61262_img_3.gif">.

Докажите, что   (<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² – <i>ab – bc – ac</i>)(<i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² – <i>xy – yz – xz</i>) = <i>X</i>² + <i>Y</i>² + <i>Z</i>² – <i>XY – YZ – XZ</i>, если   <i>X = ax + cy + bz,   Y = cx + by + az,   Z = bx + ay + cz</i>.

Выразите через <i>a</i> и <i>b</i> действительный корень уравнения  <i>x</i>³ – <i>a</i>³ – <i>b</i>³ – 3<i>abx</i> = 0.

Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.

Разложите многочлен  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ – 3<i>abc</i>  на три линейных множителя.

Какими должны быть числа <i>a</i> и <i>b</i>, чтобы выполнялось равенство  <i>x</i>³ + <i>px + q = x</i>³ – <i>a</i>³ – <i>b</i>³ – 3<i>abx</i>?

Докажите, что уравнение  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² – <i>b</i> = 0,  где <i>a</i> и <i>b</i> вещественные и  <i>b</i> > 0,  имеет один и только один положительный корень.

Решите уравнение  <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> = – ¹/₃.