Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Уравнения третьей степени» для 11 класса
параграф 1. Уравнения третьей степени
НазадЭтот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.
а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду <i>x</i><sup>4</sup> = <i>Ax</i>² + <i>Bx + C</i>. (*)
б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде <i>x</i><sup>4</sup> + 2α<i>x</i>² + α² = (<i>A</i> + 2α)<i>x</i>² + <i>Bx</i> + (<i>C</i> + α²). (**)
Докажите, что для некоторого α > – <sup><i>A</i></sup>/<sub>2</sub> правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.
в) Пользуясь...
а) Докажите, что при 4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² < 0 уравнение <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0 заменой <i>x</i> = α<i>y</i> + β сводится к уравнению <i>ay</i>³ – 3<i>by</i>² – 3<i>ay + b</i> = 0 () от переменной <i>y</i>. б) Докажите, что решениями уравнения () будут числа <i>y</i><sub>1</sub> = tg <img width="18" height="43" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61279/problem_61279_img_2.gif">, <i>y</i><sub>2</sub> = tg <img width="55" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/probl...
Докажите, что если уравнения <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0, <i>x</i>³ + <i>p'x + q'</i> = 0 имеют общий корень, то (<i>pq' – qp'</i>)(<i>p – p'</i>)² = (<i>q – q'</i>)³.
Докажите, что если корни многочлена <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
<i>f'</i>(<i>x</i>) = 3<i>x</i>² + 2<i>ax + b</i> имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.
Решите уравнения
а) <i>x</i>³ – 3<i>x</i> – 1 = 0;
б) <i>x</i>³ – 3<i>x</i> – <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61276/problem_61276_img_2.gif"> = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.
Когда 4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² < 0, уравнение <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0 имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.
а) Докажите, что при <i>p</i> < 0 уравнение <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0 заменой <i>x = kt</i> сводится к уравнению 4<i>t</i>³ – 3<i>t – r</i> = 0 (*) от переменной <i>t</i>.
б) Докажите, что при 4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² ≤ 0 решениями уравнения (*) будут числа <i>t</i><...
Изобразите на фазовой плоскости <i>Opq</i> множество точек (<i>p, q</i>), для которых уравнение <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0 имеет три различных корня, принадлежащих интервалу (–2, 4).
Изобразите на фазовой плоскости <i>Opq</i> множества точек (<i>p, q</i>), для которых все корни уравнения <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0 не превосходят по модулю 1.
Изобразите на фазовой плоскости <i>Opq</i> множества точек (<i>p, q</i>), для которых уравнение <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0 имеет
а) один корень; б) два корня; в) три различных корня; г) три совпадающих корня.
Кривая 4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² = 0 на фазовой плоскости <i>Opq</i> называется <i>дискриминантной кривой</i> уравнения <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0. Прямые <i>ap + q + a</i>³ = 0, соответствующие трёхчленам, имеющим корень <i>a</i>, называются <i>корневыми</i>. Каково взаимное расположение на фазовой плоскости <i>Opq</i> дискриминантной кривой и корневых прямых? Имеют ли они общие точки, и, если имеют, то сколько?
Найдите все действительные значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнения <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + 18 = 0, <i>x</i>³ + <i>bx</i> + 12 = 0 имеют два общих корня, и определите эти корни.
Докажите, что равенство 4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² = 0 является необходимым и достаточным условием для совпадения по крайней мере двух корней уравнения
<i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0.
Пусть уравнение <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0 имеет корни <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub> и <i>x</i><sub>3</sub>. Выразите через <i>p</i> и <i>q</i> дискриминант этого уравнения <i>D</i> = (<i>x</i><sub>1</sub> – <i>x</i><sub>2</sub>)²(<i>x</i>² – <i>x</i><sub>3</sub>)²(<i>x</i><sub>3</sub> – <i>x</i><sub>1</sub>)².
Докажите, что если <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub> – корни уравнения <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61267/problem_61267_img_2.gif">
Решите уравнение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61266/problem_61266_img_2.gif"> Сколько действительных корней оно имеет?
При всех значениях параметра <i>a</i> найдите число действительных корней уравнения <i>x</i>³ – <i>x – a</i> = 0.
Выпишите уравнение, корнем которого будет число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61264/problem_61264_img_2.gif"> Запишите число α без помощи радикалов.
Решите уравнение <i>x</i>³ + <i>x</i> – 2 = 0 подбором и по формуле Кардано.
Получите формулу для корня уравнения <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0:
<i>x</i> = <img width="138" height="75" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61262/problem_61262_img_2.gif"> + <img width="138" height="75" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61262/problem_61262_img_3.gif">.
Докажите равенство <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61255/problem_61255_img_2.gif"> + <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61255/problem_61255_img_3.gif"> = 1.
Докажите, что график многочлена
а) <i>x</i>³ + <i>px</i>; б) <i>x</i>³ + <i>px + q</i>; в) <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i>
имеет центр симметрии.
Докажите, что
а) при <i>p</i> ≥ 0 график многочлена <i>x</i>³ + <i>px + q</i> пересекает каждую горизонтальную прямую ровно в одной точке;
б) при <i>p</i> < 0 график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трёх точках;
в) при <i>p</i> < 0 график имеет один минимум и один максимум;
г) абсциссы точек минимума и максимума противоположны.