Олимпиадные задачи из источника «Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел» для 10-11 класса - сложность 1-4 с решениями

На двух клетках шахматной доски стоят чёрная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?

Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?

Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа ¹/_<i>n</i> и ¹/_<i>n</i>+1 выражаются конечными десятичными дробями.

Решить в натуральных числах систему

   <i>x + y = zt</i>,

   <i>z + t = xy</i>.

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

Найти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество:  <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).

Доказать: число делителей <i>n</i> не превосходит 2<img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78208/problem_78208_img_2.gif">.

Известно, что  <i>ax</i>⁴ + <i>bx</i>³ + <i>cx</i>² + <i>dx + e</i>,  где <i>a, b, c, d, e</i> – данные целые числа, при любом целом <i>x</i> делится на 7.

Доказать, что все числа <i>a, b, c, d, e</i> делятся на 7.

Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 4<i>a</i>₂ + 3<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 4<i>a</i>₃ + 3<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 4<i>a</i>₄ + 3<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 4<i>a</i>₁₀₀ +...

Найти корни уравнения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/77992/problem_77992_img_2.gif">

Имеются семь жетонов с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Докажите, что ни одно семизначное число, составленное посредством этих жетонов, не делится на другое.

Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.

Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).

Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами  <i>a</i>₀<i>xⁿ</i> + <i>a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i> + <i>a_n</i>,  принимающий при  <i>x</i> = 0  и  <i>x</i> = 1  нечётные значения, не имеет целых корней.

Решить систему:

   <i>x + y + z = a,

   x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>a</i>²,

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = <i>a</i>³.

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты <i>a, b, c</i> уравнения  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Докажите, что для любого нечётного натурального числа <i>a</i> существует такое натуральное число <i>b</i>, что  2^<i>b</i> – 1  делится на <i>a</i>.

Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней):   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .

Пусть  <i>P</i>(x) = <i>a_nxⁿ + ... + a</i>₁<i>x + a</i>₀  – многочлен с целыми коэффициентами.

Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3^<i>n</i>+1 – <i>P</i>(<i>n</i> + 1)|,  ...,  |3¹ – <i>P</i>(1)|,  |1 – <i>P</i>(0)|  не меньше 1.

Докажите, что многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁<i>x + ... + a_nxⁿ</i>  имеет число –1 корнем кратности  <i>m</i> + 1  тогда и только тогда, когда выполнены условия:

    <i>a</i>₀ – <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ – <i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>ⁿa_n</i> = 0,

    – <i>a</i>₁ + 2<i>a</i>₂ – 3<i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>&l...

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i>+1 – (2<i>n</i> + 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (2<i>n</i> + 1)<i>xⁿ</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>n</i>²<i>x</i>^<i>n</i>+2 – (2<i>n</i>² + 2<i>n</i> – 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (<i>n</i> + 1)²<i>xⁿ – x</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Докажите, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) делится на свою производную тогда и только тогда, когда <i>P</i>(<i>x</i>) имеет вид  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_n</i>(<i>x – x</i>₀)^<i>n</i>.