Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 8 класса - сложность 2 с решениями

На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).

Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.

В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.

Могут ли они вращаться?

Докажите, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.

Найти остаток от деления на 7 числа  10¹⁰ + 10^10² + 10^10³ + ... + 10^10¹⁰.

Докажите, что если   <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i>,   <i>b</i>₁ ≥ <i>b</i>₂ ≥ ... ≥ <i>b_n</i>,   то наибольшая из сумм вида   <i>a</i>₁<i>b</i>_<i>k</i>₁ + <i>a</i>₂<i>b</i>_<i>k</i>₂ + ... + <i>a_nb_{k_n}</i>     (<i>k</i>₁, <i>k</i><sub>2&lt...

Докажите неравенство   (<i>a + b + c + d</i> + 1)² ≥ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²)  при  <i>a, b, c, d</i> ∈ [0, 1].

Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?

  а) Каких чисел больше среди целых чисел первой тысячи (включая и 1000): в записи которых есть единица, или остальных?   б) Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?

Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход можно перевернуть любые четыре стакана.

Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

В таблице 25×25 расставлены целые числа так, что в каждом столбце и в каждой строчке встречаются все числа от 1 до 25. При этом таблица симметрична относительно главной диагонали. Доказать, что на главной диагонали все числа от 1 до 25 встречаются по одному разу.

При каких натуральных <i>n</i> выполняется неравенство  2<i>ⁿ ≥ n</i>³?

<i>n</i> – натуральное число,  <i>n</i> ≥ 4.  Докажите, что  <i>n</i>! ≥ 2^<i>n</i>.

<i>x</i> ≥ –1, <i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   (1 + <i>x</i>)^<i>n</i> ≥ 1 + <i>nx</i>.

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30898/problem_30898_img_2.gif">

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   <img width="318" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30897/problem_30897_img_2.gif">

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   <img width="248" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30896/problem_30896_img_2.gif">

Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 3  выполняется неравенство  <img width="226" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30895/problem_30895_img_2.gif">

<i>a, b, c</i> ≥ 0.  Докажите, что  2(<i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³) ≥ <i>a</i>²<i>b + ab</i>² + <i>a</i>²<i>c + ac</i>² + <i>b</i>²<i>c + bc</i>².

<i>x, y</i> > 0.  Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30888/problem_30888_img_2.gif">

Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30887/problem_30887_img_2.gif">   при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

<i>k, l, m</i> – натуральные числа. Докажите, что  2^<i>k+l</i> + 2^<i>k+m</i> + 2^<i>l+m</i> ≤ 2^{<i>k+l+m</i>+1} + 1.