Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 8-10 класса - сложность 2 с решениями
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
НазадНа прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).
Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.
В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.
Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.
Могут ли они вращаться?
Докажите, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.
Найти остаток от деления на 7 числа 10<sup>10</sup> + 10<sup>10<sup>2</sup></sup> + 10<sup>10<sup>3</sup></sup> + ... + 10<sup>10<sup>10</sup></sup>.
Докажите, что если <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i>, <i>b</i><sub>1</sub> ≥ <i>b</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>b<sub>n</sub></i>, то наибольшая из сумм вида <i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>1</sub></sub> + <i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>2</sub></sub> + ... + <i>a<sub>n</sub>b<sub>k<sub>n</sub></sub></i> (<i>k</i><sub>1</sub>, <i>k</i><sub>2<...
Докажите неравенство (<i>a + b + c + d</i> + 1)² ≥ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²) при <i>a, b, c, d</i> ∈ [0, 1].
Пусть <i>n</i> – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо <i>n</i><sup>8</sup> + 1, либо <i>n</i><sup>8</sup> – 1 делится на 17.
Докажите тождества: а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_2.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_3.gif"> в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_4.gif"> г) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_5.gif"> д) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_6.gif">(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_7.gif"> – это количест...
Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?
а) Каких чисел больше среди целых чисел первой тысячи (включая и 1000): в записи которых есть единица, или остальных? б) Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?
Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?
На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход можно перевернуть любые четыре стакана.
Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?
В таблице 25×25 расставлены целые числа так, что в каждом столбце и в каждой строчке встречаются все числа от 1 до 25. При этом таблица симметрична относительно главной диагонали. Доказать, что на главной диагонали все числа от 1 до 25 встречаются по одному разу.
При каких натуральных <i>n</i> выполняется неравенство 2<i><sup>n</sup> ≥ n</i>³?
<i>n</i> – натуральное число, <i>n</i> ≥ 4. Докажите, что <i>n</i>! ≥ 2<sup><i>n</i></sup>.
<i>x</i> ≥ –1, <i>n</i> – натуральное число. Докажите, что (1 + <i>x</i>)<sup><i>n</i></sup> ≥ 1 + <i>nx</i>.
<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30898/problem_30898_img_2.gif">
<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что <img width="318" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30897/problem_30897_img_2.gif">
<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что <img width="248" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30896/problem_30896_img_2.gif">
Докажите, что при <i>n</i> ≥ 3 выполняется неравенство <img width="226" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30895/problem_30895_img_2.gif">
<i>a, b, c</i> ≥ 0. Докажите, что 2(<i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³) ≥ <i>a</i>²<i>b + ab</i>² + <i>a</i>²<i>c + ac</i>² + <i>b</i>²<i>c + bc</i>².
<i>x, y</i> > 0. Докажите, что <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30888/problem_30888_img_2.gif">