Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Остатки» для 2-7 класса - сложность 1-2 с решениями

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Докажите, что множество простых чисел вида  <i>p</i> = 6<i>k</i> + 5  бесконечно.

Докажите, что множество простых чисел вида  <i>p</i> = 4<i>k</i> + 3  бесконечно.

Доказать, что в любой бесконечной арифметической прогрессии из натуральных чисел

  a) имеется бесконечно много составных чисел.

  б) имеется или бесконечно много квадратов, или ни одного.

При каких <i>n</i>   <i>n</i>² – 6<i>n</i> – 4  делится на 13?

Доказать, что  <i>n</i>² + 5<i>n</i> + 16  не делится на 169 ни при каком натуральном <i>n</i>.

Может ли  <i>m</i>! + <i>n</i>!  оканчиваться на 1990?

<i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3. Доказать, что  <i>p</i>² – <i>q</i>²  делится на 24.

Доказать, что  <i>a</i>^2<i>n</i>+1 + (<i>a</i> – 1)^<i>n</i>+2  делится на  <i>a</i>² – <i>a</i> + 1  (<i>a</i> – целое, <i>n</i> – натуральное).

Найти   a) 3 последние цифры;   б) 6 последних цифр числа  1⁹⁹⁹ + 2⁹⁹⁹ + ... + (10⁶ – 1)⁹⁹⁹.

<i>m</i> и <i>n</i> взаимно просты, <i>b</i> – произвольное целое число. Доказать, что числа  <i>b,  b + n,  b</i> + 2<i>n,  ...,  b</i> + (<i>n</i> – 1)<i>n</i>  дают все возможные остатки по модулю <i>m</i>.

Доказать, что  3^<i>n</i> + 1  не делится на 10100.

<i>a</i> ≡ 68 (mod 1967),   <i>a</i> ≡ 69 (mod 1968).  Найти остаток от деления <i>a</i> на 14.

В государстве имеют хождение монеты в один золотой и в один грош, причём один золотой составляет 1001 грошей.

Можно ли, имея 1986 золотых, купить без сдачи несколько предметов по 1987 грошей?

Доказать, что <i>n</i>-е простое число больше 3<i>n</i> при  <i>n</i> > 12.

<i>a</i>₁ = <i>a</i>₂ = 1,  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_na</i>_<i>n</i>–1 + 1.  Доказать, что <i>a_n</i> не делится на 4.

Доказать, что  2^2¹⁹⁸⁹– 1  делится на 17.

<i>x</i>² ≡ <i>y</i>² (mod 239).  Доказать, что  <i>x</i> ≡ <i>y</i>  или  <i>x</i> ≡ – <i>y</i>.

Доказать, что  <i>n</i>³ + 5<i>n</i>  делится на 6 при любом целом <i>n</i>.

Доказать, что  (2^<i>n</i> – 1)^<i>n</i> – 3  делится на  2^<i>n</i> – 3  при любом <i>n</i>.

Доказать, что при чётном <i>n</i>   20^<i>n</i> + 16^<i>n</i> – 3^<i>n</i> – 1  делится на 323.

Доказать, что для любого<i>n</i> ¹/₈₁(10^<i>n</i>– 1) –^<i>n</i>/₉  – целое число.

Доказать, что для любого <i>n</i>

  а)  7^2<i>n</i> – 4^2<i>n</i>  делится на 33;

  б)  3^6<i>n</i> – 2^6<i>n</i>  делится на 35.

Найти остаток  (116 + 17¹⁷)²¹·7⁴⁹  от деления на 8.

Найти остаток  4¹⁸ + 5¹⁷  от деления на 3.