Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Остатки» для 4-9 класса - сложность 2 с решениями

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Через <i>n</i>!! обозначается произведение  <i>n</i>(<i>n</i> – 2)(<i>n</i> – 4)...  до единицы (или до двойки): например,  8!! = 8·6·4·2;  9!! = 9·7·5·3·1.

Докажите, что  1985!! + 1986!!  делится на 1987.

2^<i>n</i> = 10<i>a + b</i>.  Доказать, что если  <i>n</i> > 3,  то <i>ab</i> делится на 6.  (<i>n, a</i> и <i>b</i> – целые числа,  <i>b</i> < 10.)

Докажите, что множество простых чисел вида  <i>p</i> = 6<i>k</i> + 5  бесконечно.

Докажите, что множество простых чисел вида  <i>p</i> = 4<i>k</i> + 3  бесконечно.

Доказать, что в любой бесконечной арифметической прогрессии из натуральных чисел

  a) имеется бесконечно много составных чисел.

  б) имеется или бесконечно много квадратов, или ни одного.

Доказать, что  <i>n</i>² + 5<i>n</i> + 16  не делится на 169 ни при каком натуральном <i>n</i>.

Может ли  <i>m</i>! + <i>n</i>!  оканчиваться на 1990?

Доказать, что  <i>a</i>^2<i>n</i>+1 + (<i>a</i> – 1)^<i>n</i>+2  делится на  <i>a</i>² – <i>a</i> + 1  (<i>a</i> – целое, <i>n</i> – натуральное).

<i>m</i> и <i>n</i> взаимно просты, <i>b</i> – произвольное целое число. Доказать, что числа  <i>b,  b + n,  b</i> + 2<i>n,  ...,  b</i> + (<i>n</i> – 1)<i>n</i>  дают все возможные остатки по модулю <i>m</i>.

Доказать, что  3^<i>n</i> + 1  не делится на 10100.

<i>a</i> ≡ 68 (mod 1967),   <i>a</i> ≡ 69 (mod 1968).  Найти остаток от деления <i>a</i> на 14.

Доказать, что <i>n</i>-е простое число больше 3<i>n</i> при  <i>n</i> > 12.

<i>a</i>₁ = <i>a</i>₂ = 1,  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_na</i>_<i>n</i>–1 + 1.  Доказать, что <i>a_n</i> не делится на 4.

Доказать, что при чётном <i>n</i>   20^<i>n</i> + 16^<i>n</i> – 3^<i>n</i> – 1  делится на 323.

Доказать, что для любого<i>n</i> ¹/₈₁(10^<i>n</i>– 1) –^<i>n</i>/₉  – целое число.

Доказать, что для любого <i>n</i>

  а)  7^2<i>n</i> – 4^2<i>n</i>  делится на 33;

  б)  3^6<i>n</i> – 2^6<i>n</i>  делится на 35.

Доказать, что  43⁴³ + 17¹⁷  делится на 10.

Доказать, что если  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 7, то и <i>ab</i> делится на 7.

Найти наименьшее натуральное <i>N</i>, дающее остаток 1 по модулю 2, 2 по модулю 3, ..., 7 по модулю 8.

На сколько нулей оканчивается число  9⁹⁹⁹ + 1?

Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.

Существует ли такое натуральное <i>x</i>, что  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1  делится на 1985?

Пусть натуральное число <i>n</i> таково, что  <i>n</i> + 1  делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей <i>n</i> делится на 24.